• Math background
  • Math background
  • Mathematics background
  • Mathematics background
  • Fundamentals of Statistics
  • Math graphics free wallpaper in free desktop
  • stock vector : math background
  • Math background, discrete math
  • Free Math Background for Powerpoint Slides
  • Royalty-Free (RF) Clipart Illustration of a Math
  • Mathematica -photos of some famous historical figures
  • binary system
  • Pascals triangle.
  • Conic section
  • Welcome to mathematics
  • Taylor polynomials and Taylor series -
  • ... theory of Taylor series to show that the
  • The Unit Circle
  • Graphs of the functions sin(x) and cos(x),
  • GOne of the applications of the zeta function
  • Taylor Series Approximation Illustrated
  • Matematik eğitiminin sağlıklı
  • crazy math(12)
  • crazy math(11)
  • crazy math(10)
  • crazy math(9)
  • crazy math(8)
  • crazy math(7)
  • crazy math(6)
  • crazy math(5)
  • crazy math(4)
  • crazy math(3)
  • crazy math(2)
  • crazy math(1)
  • Mickeys ears are circles which are conic sections

4 كيف تطور نفسك في الرياضيات ؟

الأربعاء، 30 أكتوبر، 2013 التسميات:

سأقترح عليك عدة نقاط إذا وجدت نفسك قادراً عل فهمها أو تجاوزها فستكون مؤهل لأن تكون الرياضيات تخصصك ومادة محببة لك ، وهنا أعني أن توفر من وقتك ومجهودك لتعلم المزيد والمزيد في الرياضيات ولا تمل أبداً، بل تجد متعة كبيرة في تعلمك إياها. وإن لم تجد ذلك فأعتقد أنه سيكون لديك مواهب في مجالات أخرى وستكون مبدع فيها أكثر من الرياضيات .. فأنا ركزت على الرياضيات أكثر لأنها تتفق مع طريقة تفكيري وهي إلى حد ما تناسبني، ولذلك فقد لا تناسبك بما فيه الكفاية.. ربما أنت مبدع في مجال آخر .. على كل الحال النقاط الرئيسية هي :
===========================

• فكر بطريقة غير إعتيادية.

▬ بإمكانك التفكير في أشياء يعتبرها الكثيرون أنها بسيطة أو مؤلوفة بطريقة غير مألوفة! كقضية الكل والجزء أيهما أكبر ؟ وهل بالفعل يمكن أن يوجد شيء أكبر من شيء أم ان الاكبر والاصغر تطرا عليه عوامل زمنية ومكانية فقط، كأن نقول الشيء أكبر من شيء آخر في وقت محدد وزمان محدد.. ؟ مثل هذه الاسئلة هي اسئلة فلسفية تتطلب تفكير عميق وطرح المزيد و المزيد من الاسئلة (اسئلة العصف الذهني) وأعتقد أن مثل هذه الاسئلة ستكون مدخل جيد جداً للرياضيات والتي تبحث في الكم أصلاً (الكميات .. المقادير .. الكميات المتساوية .. الكميات المقارنة..إلخ) يمكنك أن تطرح على نفسك هذا السؤال: لماذا 1+1=2 ؟ وهل فعلاً يمكن ان يوجد الشيء بذاته ؟ هل يمكن أن نحصل على الشيء منفرداً ؟ فمثلاً إذا كان لدينا تفاحتين عددهم 2 فماذا نقصد بقولنا تفاحة+تفاحة=2 ؟ وما هي التفاحة أصلاً ؟ هل لها تعريف ؟ وهل التعريف هذا جامع مانع ؟ هل 2 تعني أن لدي شيء+شيء من نفس الجنس أو النوع ؟ هل يمكن ان تتعدد الأجناس أو الأنواع ؟ ,,,,,, كل هذه اسئلة تحتاج إلى بحث مطول وتفكير عميق جداً... مرة اخرى سأفترض أنني وزنت لك كيلو+كيلو عنب :) هل بالفعل يمكن أن تتساوي الكمية الأولى مع الكمية الثانية تماماً (أي في الواقع) ولاحظ عندما أقول تماماً فأنا آخذ في الحسبان الكميات المتناهية في الصغر، كأن تكون جزء من مليار مليار مليار مليجرام! أو أصغر من ذلك!! هل بالفعل هما 2 كليوجرام تماماً ؟ ام ينقصون عن ذلك أو يزيدون ولو بقليل ؟ ... هذه الاسئلة ومثيلتها جعلت علماء الرياضيات يقرون بأنه ليس من الضروري ان تطابق الرياضيات الواقع.. 1+1=2 هي عملية ذهنية مجردة وإنتهى الأمر !

▬ نموذج آخر : هل تحب ترتيب الأشياء ؟ هل تحب وضع الأشياء في ترتيب معين مع إختلاف الترتيب في كل مرة وتشاهد ماذا يحدث ؟ شاهد معي هذه الجملة : زيد ضرب على ... نقوم بتغيير الترتيب .. على ضرب زيد .. ألا تلاحظ أن عامل الترتيب هنا غير المعنى ؟ الأول تعني أن فعل الضرب وقع على علي (أي أن علي مفعول به) والثانية تعني أن فعل الضرب وقع على زيد (أي أن زيد مفعول به) وبالتالي تغير الترتيب هنا غير من الشخص الذي وقع عليه فعل الضرب (أي المفعول به).. مثال آخر : أحمد صديق محمد  .. وبعد أن غيرنا الترتيب اصبحت .. محمد صديق أحمد .. هل اختلف المعنى ؟ الإجابة لا (رغم إختلاف الترتيب)، وبالتالي وجدنا نوع من الترتيب يعطيني نفس المعنى .. وهذا يعني أن الجملة الأولى تكافيء الجملة الثانية. مثال آخر : لديك زوج من الحذاء (فردة يمين وفردة شمال) سنعيد ترتيبهم بحيث يحل الحذاء الأيمين محل الحذاء الأيسر والعكس، هل تغير الوضع ؟ ... لا تستغرب من هذه الاسئلة والتي قد يعتبرها البعض أنها مجرد شذوذ فكري أو فذلكة فكرية .. لا الأمر ليس هكذا مطلقاً.. فالرياضيات تتطلب هذا النوع من التفكير .

▬ نموذج آخر : هل فكرت في احد المرات ما هو اصغر شيء ؟ وهل يمكن بالفعل أن نحصل على اصغر شيء أم يكفي أن نقول كمية متناهية في الصغر ؟ أو فكرت لمجرد التفكير في أكبر شيء ؟ أم هل يكفي أن نقول لانهاية..؟ هل سألت نفسك في أحد المرات ما هي النقطة ؟ هل وجدت تعريفاً صحيحاً لها ؟ ماذا نعني بقولنا أن القطعة المستقيمة تتكون من عدد لانهائي من النقاط ؟ ما الفرق بين النقاط التي تشكل خط مستقيم والنقاط التي تشكل منحنى أو دائرة ؟ هل يمكن لنقاط مربع أن تشكل نقاط دائرة في حالة تغير ترتيب (وضع) هذه النقاط أم أن هذا الأمر مستحيل ؟
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

• مرن نفسك على استعمال طريقة التفكير البنائية.

▬ التفكير البنائي يعتمد على الإستدلال. هو الذي تكون فيه كل فكرة مبنية على الفكرة أو مجموعة الافكار السابقة لها، وعندما أقول مرن نفسك على طريقة التفكير البنائي، أقصد أن تجعله يحتل جزء اساسي في عقلك الباطن، بحيث تؤديه بطريقة تلقائية فيما بعد. خذ مثال: مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة تحتوى على أعداد لا تقبل القسمة إلا على عددين متمايزين هما العدد نفسه والواحد. والآن إذا قلنا بأن الـ (2) لا تقبل القسمة إلا على نفسها والواحد فقط، ولكن هذه الصفة أو الخاصية هي نفس الخاصية التي تنطبق على مجموعة الأعداد الأولية، وبالتالي فإن 2 عنصر في مجموعة الأعداد الأولية، والنتيجة هي 2 عدد اولي. لاحظ مثل هذه الطرق التي قد يمل منها البعض فيراها رغم بساطتها انها مملة احياناً، لكنها من الضمن الطرق الأساسية التي تستعمل للإستدلال في الرياضيات، وهي تستعمل بكثرة، بل مستحيل ان تكون الرياضيات بدونها، وما وضعته مجرد مثال فقط، ولذلك يجب أن تمرن نفسك على جميع طرق الإستدلال الرياضياتي بحيث يحتل مكاناً كبيراً لديك.

▬ وكما ترى فالأمر لا يحتاج إلى تسرع، ومعظم ما كتبته لك ليس من الضروري أن تكتبه كله، ولكن الذي أعنيه أن طريقة التفكير الذهنية ستكون بهذه الطريقة.. طريقة كما ترى مرتبة، وتنتقل من فكرة إلى فكرة أخرى، أو من إستدلال إلى استدلال آخر. ولا تستهين بأي إستدلال كان حتى وإن كنت ترى أنه إستدلال بسيط، فأحياناً يقف حل مسالة معقدة على استدلال كان محل الغفلة أو النسيان (أي لم يكن على البال مطلقاً) ولذلك أدعوك ان ترتب أفكارك جيداً، حتى نخرج بنتائج جيدة بأحد طرق الإستدلال أو الإستنتاج الرياضياتي.

▬ نموذج آخر : (ولا تمل من سهولة الإستدلال أو التركيز على أشياء قد تراها بسيطة، فهذه هي الطرق التي تستعمل في الرياضيات وتكون في الغالب غير واضحة بذاتها). اذا قلت لك أن 1+1=2 نستدل بها أن 1+1+1 = 2+1 وهذا يعني أن : 1+1+1=3 (الذي حدث هنا أننا اضفنا 1 لطرفي المعادلة). نموذج آخر : اذا كانت س أكبر من ص عبارة صحيحة، فيكون الإستدلال ص أكبر من س عبارة خاطئة، مما يعني أن العبارة ونقضيها لا يجتمعان، أي لا يمكن أن تكون عبارة ما صحيحة وخاطئة في نفس الوقت، فعلى سبيل المثال إذا قمت بحل مسألة رياضياتية وكانت النتيجة 1 (وإفترضت أنها صحيحة) ثم قمت بحلها بطريقة اخرى فكانت النتيجة 2 هذا يعني أن الحل الثاني خاطيء، أو أن فرضية أن العبارة الأولى صحيحة هي فرضية خاطئة، وبإختصار لا يمكن ان تكون النتيجة 2 وليست 2 في نفس الوقت.

▬ وبإختصار فإن الرياضيات تعتمد على المنطق كثيراً، ولذلك فمن المهم لك في دراستك للرياضيات أن تمر على دروس المنطق الرياضياتي، فهو يمرن عقلك على حضور الحس الرياضياتي لديك بشكل مستمر بحيث تؤدي عمليات رياضياتية بشكل شبه تلقائي (مسألة تعود لا أكثر).
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

• ابدأ من الأسهل ثم الاصعب.

▬ ما هو الأسهل لديك، دراسة الجبر أم دراسة الحساب ؟ أعتقد أن الإجابة ستكون هي دراسة الحساب. حسناً . إبدأ به، ستقول لي ولكني أعرفه وهو سهل جداً لدرجة أنني سأمل سريعاً من مراجعته مرة ثانية. فأقول لك هذه فكرة خاطئة، فصدقني جميعنا درس الحساب بطريقة الحفظ وليس بطريقة الفهم، فهل سألت نفسك لماذا نعتمد هذه الطريقة في القسمة المطولة ؟ هل تستطيع أن تثبتها ؟ أو هل تستطيع أن تتعرف على كيفية او آلية طريقة الضرب المطول ؟ كيف ومن أين جاءت هذه الطريقة في الضرب ؟ أو القسمة ؟ لماذا يتم الجمع والطرح في الحساب بهذه الطريقة ؟ لماذا نحفظ جدول الضرب الأساسي ؟ أيهما أهم أن نحفظ جدول الضرب ام أن نفهم جدول الضرب ؟ لماذا نحلل الأعداد إلى عواملها الأولية ؟ لماذا الأعداد الأولية تحتل مكانة كبيرة في الرياضيات ؟ كل هذه اسئلة لا يجب أن تمر عليها مرور الكرام بل يجب أن تبحث فيها بإستفاضة وتدرسها جيداً وتعيد النظر فيها من حين الآخر حتى وإن كنت جيد جداً في الرياضيات.

▬ بعد فهمك لأهم جوانب الحساب العادي، يمكنك ان تصنع نفس الشيء مع الهندسة (البسيطة) كحساب محيط الاشكال البسيطة (دائرة - مربع - مستطيل - ماذا نقصد بإيجاد المحيط، ثم ادرس كيف نحسبه مثلث - متوازي أضلاع .. إلخ) ولكن حاول ان تدرسهم بطريقة مختلفة من قبل .. لا تحفظ .. أفهم .. وماذا نقصد بالمساحة (المساحة تحتل مكان كبير جداً في الرياضيات والهندسة خصوصاً، وكذلك الحجم).. افهم كيف جاءت القوانين الأساسية لإيجاد مساحة وحجوم الأشكال الأساسية، ومرن نفسك مراراً وتكراراً عليها.. مرة اخرى لا تحفظ هذه القوانين (إلا) بعد فهمك إياها، ولا تتقيد بحل الكتاب أو حل الاستاذ أو الدكتور في الجامعة.. اعتبر أن ما يقوله الكتاب او الاستاذ مجرد إقتراح .. هو يقترح عليك طرقاً في الحل .. أو الفهم .. يجب أن تفكر أنت .. حل المسائل بطريقتك أنت .. بإختصار يجب أن تكون مشارك في الفعل، وليس مجرد متفرج!

▬ درست الرياضيات الأساسية .. رياضيات المرحلة الإبتدائية.. يمكنك ان نتقل إلى الجبر وتفهم ما تعنيه هذه الرموز، وهل لها معنى أم هي مجرد رموز إعتباطية، يجب أن تعلم ان الجبر مرحلة متطورة أو نموذج متطور من الحساب، ولذلك إذا جاز لنا التعبير لقلنا أن الجبر هو حساب متطور. هناك مسائل في الرياضيات إذا ظللنا نحلها بنفس الطريقة التي يعتمدها الحساب العادي لوجدتنا صعوبة بالغة، بل وتكاد تكون الطريقة مستحيلة، فجاء الجبر وحل هذه الإشكالية، فهو بالاساس يعتمد على طرق التجريد، وكلما تعمقت في دراسة الجبر ستجد أن العمليات الرياضيات أكثر تجريداً، وكلما زادت الصعوبة في الرياضيات كلما زادت تجريداً، والعكس صحيح، وأعني بالتجريد هنا أداء عمليات رياضياتية بطريقة آلية حتى تفهم هذه الطرق الآلية نعيدها إلى أصلها، ولذلك يجب ان انبهك بأنه بعد فهمك لقانون أو نظرية ما في الرياضيات طبقها على عدة تمارين حتى تثبت تماماً لديك وتكون جزء أساسي من تفكيرك الرياضياتي، ثم بعد ذلك تستعملها بطريقة تلقائية (يعني أحفظها فيما بعد .. ولكن لا تجعل الحفظ يسبق الفهم إلا في مواضع سأذكرها لك الآن) وهي أن يتوقف حل مسألة على نظرية، وهذه النظرية حتى تفمهما فأنت بحاجة لدراسة نظريات كبيرة جداً في الرياضيات، وأنت لست مؤهل إلى ذلك الآن، أو ليس لديك من الوقت ما يكفي، في هذه الحالة أنصحك بأن تأخذ النظرية كما هي دون فهم (إحفظها) ولكن حاول أن تجتهد فيما بعد، وتعمل على فهمها بعد أن تكون ألميت بالنظريات القبلية التي تتطلبها هذه النظرية. ومثال على ذلك الجبر على المصفوفات.. هذه الطرق أغلبها يتم حفظها لأن فهمها يتطلب منك دراسة باب واسع جداً في الرياضيات وهو الجبر الخطي، وهو موضوع ليس بالشيء الهين في الرياضيات.
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

• إجعل الرياضيات شيء أساسي لديك.

▬ أي أن تمارس الرياضيات بإستمرار (طبعاً من الافضل ألا يطغى ذلك على أشياء أخرى) أن تمارسها ممارسة معقولة، وفي أوقات محددة حتى لا تؤثر على جوانب أخرى في حياتك. أياك ثم اياك ان تدرس الرياضيات لمجرد الحصول على درجات متفوقة فيها فقط (أي أن تكون الدرجات أهم عندك) وإذا كنت مجبر على دراسة الرياضيات كمادة أساسية في الثانوية على سبيل المثال، وأنت لا تحب مادة الرياضيات ولا تفهم معظم قوانينها، فهنا أنت ستلجأ إلى الحفظ .. ليس لديك
خيار آخر، وطبعاً لن تكون الرياضيات هي إختيارك في المرحلة الجامعية، وبالمناسبة ليس من الضروري أن يكون مجال تخصصك الجامعي هو الرياضيات حتى تتقنها، لا فهذه نظرية خاطئة، يمكنك مثلاً أن تدرس في المجال الكمبيوتر، واعتقد سيكون محفز لك لدراسة الرياضيات، أو ان تقوم بدراسة الفلسفة، فستجد فيها محفز أيضاً لدراسة الرياضيات، أو العكس، فيمكن أن تكون الرياضيات محفز لك لدراسة الفلسفة... ستقول وما الذي يضمن لي هذا الإستمرار في الرياضيات والذي ربما يستمر معك دائماً ؟ الإجابة هي أن تلتمس فوائد كثيرة منها، كأن تدرس بجانبها الفزياء (على سبيل المثال) فتجد أنها شجعتك على دراستها، أو أنها ساعدتك في مجال كمبيوتر والإنترنت، أو أنها كانت عامل اساسي في تطوير نشاطك العقلي، بدأت تنظر إلى الأشياء بنظرة مختلفة، لديك طرق مبتكرة في حل المشكلات...إلخ، وأنا أقول لك إن لم تجد شيء كهذا فلن تستمر، لأنني اعتقد أنه سيكون شيء الممل جداً ان تدرس الرياضيات لغرض الرياضيات فقط، يجب أن تجد شيء يجعلك تستمر في دراستها.
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

• حرر نفسك شيئاً فشيئاً .. كن سلطان نفسك!

▬ قد يكون هذا العنوان مستهجن بعض الشيء، فما أقصده بتحرير نفسك هنا أي من سلطة الأستاذ عليك فلا تجعله يؤثر عليك سلباً، كأن يقول لك أنت فاشل في الرياضيات ولن تنفع فيها أبداً، أو أن يجعلك تفقد ثقتك بنفسك، والعنوان لا يدعو إلى التكبر والغرور .. كلا مطلقاً .. ولكن الرياضيات تتطلب ذلك، فأنت الذي تفكر، لا تجعل أحد يفكر بدلاً منك، يجب أن تدرك أن الأستاذ يقترح عليك طرق في الفهم او الحل، قد تكون طريقته معقدة وغير مفهومة بالنسبة لك، حاول أن تجد مدرس آخر، أو اعتمد على نفسك، فالرياضيات تحتاج إلى نشاط ذهني كبير . ولا تخش من الوقوع في الخطأ فهو بداية لك للتعلم السليم، وبمجرد معرفتك بشيء خاطيء ستكون قد اكتسبت معلومة جديدة، بأن طريقة معينة في الحل كانت خاطئة فتحاول ألا تكررها مرة ثانية.
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

• اربط الرياضيات بكل شيء في الحياة.

▬ نعم لا تستغرب ذلك، فهذا الشيء لا نفعله عنوة، ولكن لأنها حقيقة، فالرياضيات تهتم أصلاً بالكم، وهل وجدت شيء في هذه الحياة بدون كم ؟ أو على الاقل إجعلنا نتكلم في الكم المجرد (لأنك على سبيل ستمر في دراستك للرياضيات على الأعداد التخيلية، والتي ليست لها وجود في الواقع) ولهذا فكما ذكرت بأنه ليس من الضروري أن تطابق الرياضيات الواقع، ولكن الأهم ألا يحدث خلل داخل الرياضيات نفسها، أو داخل نسق رياضياتي محدد. ولكني اعتني بالربط الهندسي هنا أكثر، كأن تحلل تركيب الأشياء، مما يتكون شيء ما بطريقة هندسية، وما العوامل التي أدت تكوينه...إلخ. كذلك ربط الجبر بالهندسة من السمات الأساسية في الرياضيات، واخيراً مارس بنفسك حل تمارين كثيرة لأنه سيكون عامل مهم في تذكر الدروس أول بأول مع ثبات الأفكار الرئيسية التي يدور حولها الدرس.


أتمنى أن تساهم هذه النقاط التي ذكرتها في تغيير نظرتك الرياضيات وإعادة النظر فيها من جديد.. تحياتي لك وللمشاركين في السؤال.
تابع القراءة

2 شرح قوانين الأسس واللوغاريتمات على e في $\mathbb{R}$

الأربعاء، 24 أبريل، 2013 التسميات:

e يسمي العدد النيبيري أو عدد أويلر وهو ثابت رياضياتي ≈ 2.72 وهو عدد غير نسبي (أي لا يمكن وضعه في صورة كسرية a/b حيث كلاً من a,b أعداداً صحيحة، b ≠ 0 حيث لا يجوز القسمة على الصفر، ولكن لماذا هذا العدد تحديداً ؟ • هذا السؤال يشبه لماذا العدد باي تحديداً ؟ فالعدد باي هو ثابت رياضياتي أيضاً يُفيد بأننا لو قسمنا محيط دائرة (أي دائرة) على قطرها تعطينا نسبة ثابتة دائماً ≈ 3.14 أو 22/7 وكل هذه قيم تقريبية لها فهي عدد غير نسبي، وحسب ظني أن ما دعي للعدد e هو موضوع متعلق بإشتقاق الدالة الأسية لن نتحدث فيه الآن حتى لا تتراكم الموضوعات هنا، فقط كل ما نريد أن نركز عليه هو أن e ثابت رياضياتي يساوي تقريباً 2.72 .

عندما نكتب $e^x$ نطلق على e (الأساس) ، x (الأس) حيث x عدد حقيقي .. ويمكن أن تُقرأ e مرفوع للقوة x أو للأس x .. إذاً ما هو موضوع الأسس ؟ • الأسس جاءت لتبسيط العمليات الحسابية على الضرب (المتكرر) ، والضرب جاء لتبسيط العمليات الحسابية على الجمع (المتكرر) ، ولذا يجب أن ندرك جيداً مفهوم الأس قبل الخوض في البراهين، والإثباتات المقدمة عليها ، فضلاً عن الخوض في حل تمارين متعلقة به .

ومن هنا فصاعداً سنتعامل مع (x) كعدد طبيعي ومن ثم التعميم على الأعداد الحقيقية (حيث الأعداد الطبيعية مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية IR) من أجل توضيح البرهان فقط حيث أن البرهان سهل جداً لو تعاملنا مع (x) كعدد طبيعي : N = {1,2,3,4,5,...}   l

ما هو الهدف ؟

• الهدف هو الإنتقال من التعامل مع الكائنات الرياضياتية البسيطة إلى كائنات أخرى أعقد منها، حيث تبدو وللوهلة الأولى أنها أقرب إلى الحفظ منها إلى الفهم، ويبدو الأمر أنه مجرد تأديه مجموعة من الخطوات للوصول إلى حل مسألة ما ، ولكن في الحقيقة تعرفنا على هذه القوانين يختصر علينا أداء عمليات حسابية كثيرة جداً، وربما لن نصل الى الحل المطلوب بنفس الكفاءة، ولذا فالرياضيات تهتم بالتعميم كثيراً، ومن قبل ذلك فهي تهتم بالمفاهيم الرياضياتية أكثر ، وهذا شأن أي علم حقيقةًَ لكن لم أجد تعميم بهذا العمق أو وضوح شديد ودقيق جداً في المفاهيم إلا في الرياضيات .

سأبدأ بوضع القوانين (تبعاً للترتيب، حيث كل قانون مبني على الآخر ، ولا يجوز الإنتقال إلى القانون الذي يليه إلا بعد فهم القوانين السابقة له جيداً) وأقوم بشرحها، وفي آخر الموضوع أضعهم جميعاً من أجل التذكير بهم .

أولاً قوانين الأسس :

عندما نكتب $e^5$  فهذا يعني : $e^5 = e \times e \times e \times e \times e $
وبصفة عامة عندما نكتب $e^n$  فهذا يعني أن e مضروبة في نفسها n مرة حيث n عدد صحيح (طبيعي) ، ولكن ماذا لو كان الأسس عدد كسري ؟ .. كي نفهم الأسس الكسرية يجب أن نمر على عدة قوانين منها الجذور ، فعندما نكتب $\sqrt{e}$ فهذا يعني ما العدد الذي لو ضُرب في نفسه مرتين يعطي القيمة e وإذا كتبنا $\sqrt[3]{e}$ فهذا يعني ما العدد الذي لو ضُرب في نفسه ثلاثة مرات يعطي العدد e .. وهكذا بالنسبة للجذور النونية، فيوجد جذر رابع، وخامس، وسادس ... إلخ ، وما علاقة هذا بالأسس الكسرية ؟ • علاقة هذا بالأسس الكسرية أننا سنجد بعد تعرفنا على عدة قوانين أنه يمكن تحويل الجذور إلى أسس كسرية، والعكس صحيح .

نلاحظ أن : $e=e^1$  حيث أن الأس (1) لا يُكتب غالباً .

نلاحظ مرة أخرى :
$e^5 = e \times e \times e \times e \times e = e^{1+1+1+1+1} = e^5$

ماذا نفهم من ذلك ؟

• نفهم أنه عند ضرب الأساسات المتكررة نقوم بجمع الأسس، وهذا هو أول وأهم قانون :

◘ القانون الأول : $e^x e^y = e^{x+y}$  حيث كلاً من x,y أعداداً حقيقية كما سنرى أنه يمكن التعميم على الأعداد الحقيقية بعد فهمنا للأسس الكسرية وعلاقتها بالجذور .

مثال آخر عليه :  $e^3 e^5 = e^{3+5} = e^8$
مثال آخر :
$e^{\frac{1}{2}} e = e^{\frac{1}{2} + 1} = e^{\frac{3}{2}} = e^{1.5}$

وعكس القانون صحيح أيضاً : مثال : $e^5 = e^{2+3} = e^2 e^3$

لقد تعرفنا على ضرب الأساسات المتكررة، بقي أيضاً أن نعرف القسمة، ليكن قسمة e^5  على فهي تعني الآتي :


$\frac{e \times e \times e \times e \times e}{e \times e \times e} = e \times e = e^2$

حيث تم إختصار الثلاث أساسات المتكررة في المقام مع البسط وتبقى لنا أساسين مكررين فقط في البسط، ماذا نفهم من ذلك ؟

• نفهم أنه عند قسمة الأساسات المتكررة نقوم بطرح الأسس، وهذا هو ثاني قانون وهم مهم أيضاً :

◘ القانون الثاني : $\frac{e^x}{e^y} = e^{x-y}$ وعكس القانون صحيح أيضاً .

مثال :  $\frac{e^7}{e^4} = e^{7 - 4} = e^3$
مثال آخر :
$\frac{e^2}{e^{\frac{1}{2}}} = e^{2 - \frac{1}{2}} = e^{1.5}$
مثال(3) : 
$\frac{e^3}{e^5} = e^{3 - 5} = e^{-2}$

هنا في المثال الأخير حصلنا على أس (سالب) ، فما هو مفهوم الأس السالب ؟ .. كي نفهم مفهوم الأس السالب نعتمد على نفس القانون السابق مباشرة ً .. ، وليكن مثالنا الأخير :

قلنا : $\frac{e^3}{e^5} = \frac{e \times e \times e }{e \times e \times e \times e \times e} = \frac{1}{e^2} = e^{-2}$

حيث تم إختصار الثلاث أساسات من e المكررة في البسط مع ثلاثة في المقام، وتبقى لدينا في المقام اثنين من e ، ولهذا ننتقل إلى القانون الثالث :

◘ القانون الثالث :          $\frac{1}{e^x} = e^{-x}$

ولكن هذا القانون يفتح علينا قانون رابع (بسيط جداً)

◘ القانون الرابع هو :  $e^0 = 1$

الإثبات : $\frac{e}{e} = e^{1-1} = e^0 = 1$

كيف علمنا أنها تساوي واحد ؟ من خلال وضعنا e/e حيث أن الشيء على نفسه يعطي واحد (شرط ألا يكون صفر على صفر) فوجدنا (بقوانين قسمة الأساسات المتكررة) انها تعطي e^0 ومن هنا جاء القانون .

◘ القانون الخامس      $(x y)^e = x^e y^e$  وعكس القانون صحيح أيضاً، وهو كما رأينا يقوم بتوزيع الأس على ما بداخل القوس .. كي نفهم القانون بشكل مبسط جداً نحلل المسألة الحسابية الآتية :

l                   (2 × 4)³  = (2×4)(2×4)(2×4) = (2×2×2)(4×4×4) = 2³ × 4³

بإختصار وحتى لا نجري هذه الخطوات مرة أخرى علمنا أنه تم توزيع الأس على عملية الضرب التي داخل القوس .

◘ القانون السادس :    $(e^x)^y = e^{x y}$

ويمكن إجراء التجرية على مثال بسيط ، إعتماداً على القانون الخامس (وهو قانون توزيع الأس على القوس) .. والقانون الأول أيضاً هو جميع الأسس للأساسات المتكررة .

$(e^3)^2 = (e \times e \times e)^2 = e^2 \times e^2 \times e^2 = e^{2+2+2} = e^{2 \times 3}$

ولا أريد أن أستعمل طرقاً في التعميم أكثر من ذلك (بدلالة رموز مثلاً بدلاً من الأرقام والأعداد) حتى يتضح المعنى بسهولة .

نأتي الآن إلى كلاً من القانون السابع والثامن، وهما يُفيدان بأنه إذا تساوت الأسس تساوت معها الأساسات، والعكس صحيح أي إذا تساوت الأساسات تساوت معها الأسس (لكن بشروط معينة كما نعلم أن لكل قاعدة إستثناءات) ، وسأستعمل الرمز <==> للدلالة أنه إذا تحقق الطرف الأيمن تحقق معه الطرف الأيسر ، والعكس صحيح .

◘ القانون السابع : $e^x = e^y \Longleftrightarrow x = y$

مثال : إذا وجدنا معادلة فيها : $e^x = e^3$  فهذا يعني أن x = 3
مثال آخر :
$e^{x - 2} = e^3$
  فهذا يعني أن : x - 2 = 3  ومنها x = 5

◘ القانون الثامن : $x^e = y^e \Longleftrightarrow x = y$

مثال : إذا وجدنا $x^e = 3^e$  فهذا يعني أن x = 3

ولا توجد استثناءات في حالة كان الأس أو الأساس e ..

◘ القانون التاسع : $\sqrt[n]{e^x} = e^{\frac{x}{n}}$

هذه هي الأسس الكسرية (والمتعلقة بالجذور) ، ولكن كيف حصلنا على هذه الصغية ؟ للإجابة على هذا السؤال نأخذ مثال على الجذر التربيعي (لتسهيل الملاحظة) : نفرض أن : $\sqrt{e^x} = e^y$ ونوجد قيمة y ... بعد تربيع الطرفين (نعلم أن التربيع يلغي الجذر التربيعي مثل $\sqrt{2^2} = 2)$ ... ولذا بعد تربيع الطرفين نحصل على : $e^x = (e^y)²$

ومنها :  $e^x = e^{2y}$

الأساس = الأساس = e  إذاً الأس = الأس

أي أن :  2y = x   ومنها  $y = \frac{x}{2}$ 

اذاً :  $\sqrt{e^x} = e^{\frac{x}{2}}$   ونفس الشيء تماماً مع بقية الجذور .. ولكن بدلاً أن نأخذ الجذر التربيعي للطرفين .. نأخذ الجذر النوني للطرفين .

◘ القانون العاشر :   $(\sqrt[n]{e})^x = \sqrt[n]{e^x}$

وإثبات هذا القانون يعتمد على القانون السابق له، والقانون السادس .
$(\sqrt[n]{e})^x = (e^{\frac{1}{n}})^x = e^{\frac{x}{n}} = \sqrt[n]{e^x}$
-----------------------------------------------------------------------------------
ثانياً قوانين اللوغاريتمات (وأخص بالذكر اللوغاريتم الطبيعي ln)

ما هو مفهوم اللوغاريتمات ؟

• لن أخوض في تفاصيل كثيرة يُمكن أن تشتت التفكير، ولكن سأوضح في عجالة مفهوم اللوغاريتمات (لا سيما اللوغاريتم الطبيعي Ln)

عندما نحل مسألة من هذا النوع :  $e^x = 2^3$  وهي معادلة تعني ما هي القوي التي أرفها إلى العدد e تعطيني 2³ (أو 8) .. لو حلحلنا هذه المعادلة بقوانين الأسس فقط فلن يتأتي لنا ذلك؛ لأن الأس لا يساوي الأس، ولا أساس يساوي الأساس .. إذا ما الحل هنا ؟ الرياضيات لا تعني كثيراً بالحل (العددي) في مثل هذه المواقف، والمقصود بالحل العددي أي أن أقول x = كذا (أي كذا عدد حقيقي، ولكن 2 ، نصف أي شيء) ، ولكن يمكن القول بأن x تعطيني كائن رياضياتي (ذو قيمة عددية طبعاً لكن لا نعرفها تحديداً) وهذا الكائن الرياضياتي أطلقنا عليه اللوغاريتم، وبعد أن نعطي لهذا اللوغاريتم (ماهيته - أي صفاته وخصائه التي تنطبق عليه) .. أما إعطاء القيمة العددية فيمكن اللجوء إلى فرع في الرياضيات يسمى التحليل العددي، بحيث هذا التحليل يمكن أن يعطينا قيمة تقريبية لـ x ، ولكن هذا حالياً غير مهم، فالأهم هو أن نضع x في قالب أو كائن رياضياتي يسمى (لوغاريتم) .

ندقق مرة ثانية في العبارة السابقة، فنجد أن قيمة x هي العدد الذي لو كان (أس) للأساس e لأعطى القيمة 2³ (فقط هكذا انتهى الموضوع رياضياتياً !) هذه هي قيمة x (ذهنياً) ، ولكن رمزياً نعبر عنها باللوغاريتمات، فنقول : $x = log_e(2^3) = \ln(8)$ 

وتقرأ : لوغاريتم 2 أس 3 للأساس e أو لوغاريتم 8 للأساس e أو اللوغاريتم الطبيعي للعدد 8 ، وهذا اللوغاريتم (أي الطبيعي) نظراً لشهرته الكبيرة في الرياضيات تم إختصاره إلى Ln .. وإلا فيوجد لوغاريتمات لأساسات أخرى غير e (يمكن أن نضع عوضاً عنها أي عدد حقيقي موجب) .. ربما يسأل سائل وماذا نستفيد من ذلك ؟

• الإستفادة الحقيقية تكون في القوانين المستنتجه على اللوغاريتمات (طبعاً بعد مفهومنا له جيداً) بحيث يمكن إختصار العبارات الرياضياتية المعقدة باللوغاريتمات، ومن ثم تحويل اللوغاريتم الى قيمة عددية كما يحلو لنا الأمر (إذا الخلاصة هي أننا نتعامل مع بنى رياضياتية) .

ولذا فأول قانون (وهو قانون لا يستند إلى قوانين أخرى لأنه قانون وضعي، أي وضع ليحل مشكلة لا أكثر تبعاً لمفهوم طبقناه عليه) .

◘ القانون الأول :  $ln(x) = y \Longleftrightarrow x = e^y$

وهذا القانون يعني التحويل من الصورة اللوغاريتمية إلى الصورة الأسية، والعكس ، وهو يعني إذا كان : $\ln(x) = y$ فإن $x = e^y$ والعكس صحيح .. حيث أن الطرف الأيسر يترجم الأيمن، والعكس صحيح .. ولنبدأ من الطرف الأيمن، والذي يعني ما العدد (y) الذي لو كان أساً للأساس e يعطينا القيمة x فنجد أنه يفسر الجهة اليسرى تماماً فـ y عبارة عن اللوغاريتم الطبيعي للعدد x .. ولكن كيف نحفظ هذا القانون من أجل التعامل به بشكل سريع في العمليات الجبرية ؟ .. الصيغة اللوغاريتمية هي ln(x) = y  كي نحولها الى صيغة أسية نأتي بـ e (الأساس) ونجلها أساساً لعدد y (أي نعكس فنحول y من أساس الى أس للأساس e) وطبعاً هذه الخطوة تتطلب منا الغاء اللوغاريتم، فالصيغة الأسية قد حلت مكانه .

إذاً (وطبقاً للقانون السابق) كيف نحول العكس ؟ أي من صيغة أسية إلى صيغة لوغاريتمية ؟

ليكن لدينا : $x = e^y$  والتي ينبغي أن تعطي $\ln(x) = y$ طبقاً للتعريف (أو القانون الأساسي الأول) .. نحن الآن نتعامل مع معادلة :

الطرف الأيمن = الطرف الأيسر

هذا يعني أن : ما يُطبق على الطرف الأيمن يطبق بالمثل على الطرف الأيسر ، فإذا طرحنا 1 من الطرف الأيمن من المعادلة نطرح 1 أيضاً من الطرف الأيسر ، وهكذا بالنسبة للجمع ، والقسمة والضرب ، بل وجميع العمليات الجبرية بما فيها اللوغاريتمات وهذا أمر طبيعي لا يحتاج توضيح .

لدينا : $x = e^y$  فنقول بأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين :

$\ln(x) = \ln(e^y)$    ولكن التعريف الذي وضعناه يقول : $\ln(x) = y$

هذا يعني أن : $\ln(e^y) = y$  وهنا نستخلص قانونين، لكن بعد أن نعرف الخطوات التي حدثت ... ln(e^y)  = yln(e) = y*1 = y  إذا أثبتنا أن ln(e) = 1  فتكون خطوة وضع الأس مضرباً في اللوغاريتم صحيحة، وبالفعل فإن :  $\ln(e) = log_e(e) = 1$ كيف عرفنا أنه يساوي 1 ؟ نحوله إلى الصيغة الأسية بهذه الطريقة : نفرض أن : ln(e) = y ومنها e = e^y .. فهنا نجد أن الأساس = الأساس .. إذاً الأس = الأس .. أي أن : y = 1  إذاً : ln(e) = 1  ,,, ونخرج من هذا (طبعاً على عجالة في الشرح) بقانونين مهمين في اللوغاريتمات أيضاً .

◘ القانون الثاني : $\ln(e) = 1$

◘ القانون الثالث :  $\ln(x^e) = e \ln(x)$    

مثال آخر على القانون الثالث :  $\ln(2^3) = 3 \ln(2)$  والعكس صحيح .

وأيضاً طبقاً لهذا القانون فإن : $\ln(\frac{1}{e}) = \ln(e^{-1}) = -\ln(e) = -1$

حيث تم إستعمال القانون الثالث، وقاعدة من قوانين الأسس، وهي :     $\frac{1}{e} = e^{-1}$

يمكن أن نخرج من القانونين السابقين بنتيجة وهي أن : Ln(1) = 0  حيث : $\ln(1) = \ln(e^0) = 0 \times \ln(e) = 0 \times 1 = 0$
بقي لنا أشياء يسيرة جداً، وهي إجراء العمليات الحسابية (الأربعة) على اللوغاريتمات (الجمع ، الطرح ، الضرب ، القسمة) .

◘ القانون الرابع : $\ln(x) + \ln(y) = \ln(x y)$ 

مثال : $\ln(2) + \ln(3) = ln(2 \times 3) = \ln(6)$

كي نتحقق من صحة هذا القانون نقوم بتحويل اللوغاريتمات إلى الصورة الأسية، وبعدها نحولها مرة أخرى الى الصيغة اللوغاريتمية، مستخدمين في ذلك قوانين الأسس، وقوانين اللوغاريتمات الثلاثة السابقة الذكر .

نفرض أن $\ln(x) = m$  ومنها  $x = e^m$
نفرض أن
$\ln(y) = n$
  ومنها  $y = e^n$

بالتعويض في الطرف الأيمن ...

$\ln(x y) = \ln(e^m e^n) = \ln(e^{m+n}) = (m+n) ln(e) = m + n$

ولكن : $m + n = \ln(x) + \ln(y)$ وهذا شيء كافٍ لإثبات صحة المتطابقة (أي القانون الرابع) حيث أثبتنا أن الطرف الأيمن يحقق الطرف الأيسر) .. وهذا القانون هام جداً حيث أنه يحول من جميع إلى ضرب والعكس صحيح، ولكن ينبغي ملاحظة انه في حالة الضرب يكون هناك ln واحدة فقط، اما في حالة الجمع فيوجد ln لكل حد ... ملاحظة أخرى هذا القانون ينطبق على أكثر من حد .

مثال :  $\ln(x) + \ln(y) + \ln(z) = \ln(x y z)$ ,طبعاً عكس القانون صحيح .

◘ القانون الخامس : $\ln(x) - \ln(y) = \ln(\frac{x}{y})$

وإثباته سهل جداً بمجرد الإعتماد على القانون الذي قبله، وكذلك عكس القانون الثالث حيث $\ln(y^{-1}) = -\ln(y)$  هذا يعني الآتي :

$\ln(x) - \ln(y) = \ln(x) + \ln(y^{-1}) = \ln(x) + \ln(\frac{1}{y}) = ln(\frac{x}{y})$

حيث تم استعمال قاعدة جمع اللوغاريتمات حيث ضربنا x في مقلوب y .

اما عند ضرب اللوغاريتمات فلا نصنع شيء، فمثلاً ln(x) ln(y) l  ليس لها قانون محدد ، ولكن يمكن تطبيق القوانين سابقة الذكر عليها ، فمثلاً يمكننا القول بأن : $\ln(x) \ln(y) = \ln(x)^{ln(y)}$    حيث تم تطبيق القانون الثالث عليها..وهكذا .

◘ القانون السادس : $\frac{\ln(x)}{\ln(y)} = log_y{x}$

,هذا القانون كما رأينا قد الغى تماماً اللوغاريتم الطبيعي وأعطانا لوغاريتم آخر للأساس y (ولا يستعمل هذا القانون الا اذا تطلب الأمر ذلك) .. وإثباته يكون بتحويل كلاً من ln(x) , ln(y) إلى الصيغة الأسية، ثم العكس .
بالطبع يوجد قوانين أخرى لكن هذه أهمها ...

ولكن هناك عدة ملاحظات :

الملاحظة الأولي : عندما يمكن تبديل x , y بأي دالة، مثلاً يمكن أن نضع بدلاً من x دالة أخرى في x أيضاً ، وكذلك بالنسبة لـ y .

الملاحظة الثانية : اذا كنا نتعامل مع اللوغاريتمات ذات القيم الحقيقية فلا يمكن أن يكون ما بداخل اللوغاريتم عدداً سالباً ...

مثال : $\ln(-n)$  حيث n عدد طبيعي موجب ... ماذا يساوي ؟

نحوله الى الصيغة الأسية، فنفرض أنه يساوي y .

$\ln(-n) = y$   ومنها :  $-n = e^y$

ولكن $e^y$ يجب أن تعطي عدداً موجباً دائماً من أجل y عدد حقيقي، يمكن رسم دالة $e^x$ والتحقق من ذلك بنفسك، ولذا فلا حل هنا (في مجموعة الأعداد الحقيقة) .

الملاحظة الثالثة : $\ln(0)$ غير معرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية، ولكن يتعامل معها البعض على أنها سالب مالانهاية .

الملاحظة الرابعة : يمكن الإعتماد على هذا الموقع للتأكد من الحلول :


بوضع صيغة المعادلة (مثلاً) في مربع البحث .

مما سبق فإن أهم : {قوانين الأسس واللوغاريتمات على e} هي :

◘ $e^x e^y = e^{x+y}$
◘ $\frac{e^x}{e^y} = e^{x-y}$
◘ $\frac{1}{e^x} = e^{-x}$
◘ $e^0 = 1$
◘ $(x y)^e = x^e y^e$
◘ $(e^x)^y = e^{x y}$
◘ $e^x = e^y \Longleftrightarrow x = y$
◘ $x^e = y^e \Longleftrightarrow x = y$
◘ $\sqrt[n]{e^x} = e^{\frac{x}{n}}$
◘ $(\sqrt[n]{e})^x = \sqrt[n]{e^x}$
◘ $ln(x) = y \Longleftrightarrow x = e^y$
◘ $\ln(e) = 1$
◘ $\ln(x^e) = e \ln(x)$
◘ $\ln(x) + \ln(y) = \ln(x y)$
◘ $\ln(x) - \ln(y) = \ln(\frac{x}{y})$
◘ $\frac{\ln(x)}{\ln(y)} = log_y{x}$

                         {مسائل تطبيقية}
1) بين أنه : $\ln(e^2) - 2\ln(\frac{1}{e}) - 4 = 0$

• الحل : $\ln(e^2) - 2\ln(\frac{1}{e}) - 4 = 2\ln(e) - 2\ln(e^{-1}) - 4 \\ = 2\ln(e) + 2\ln(e) - 4 = 2+2-4 = 0$

2) حل في $\mathbb{R}$$\ln(3x+2) = 1$

• الحل :
$3x+2 = e^1 = e \Longrightarrow 3x = e - 2 \Longrightarrow  x = \frac{e - 2}{3}$

3) حل في  $\mathbb{R}$ المتراجحة : $e^{2x+5} - e^{4x} > 0$

الحل : نقوم أولاً بإيجاد حالة المساواه كالآتي :

$e^{2x+5} - e^{4x} = 0 \Longrightarrow e^{2x+5} = e^{4x} \\ 2x+5 = 4x \Longrightarrow 2x = 5 \Longrightarrow x = 2.5 $

والآن نشأ لدينا فترتين أساسيتين وهما : $]-\infty , 2.5[$ و الثانية $]2.5 , \infty[$ 
نأتي في الفترة الأولي ونختر أي عدد ينتمي إليها، وليكن 0 ونعوض به، ونتحقق هل هو يحقق
المتراجحة ؟ بعد التعويض بـ x = 0  نحصل على : $e^5 - e^0 = e^5 - 1$ وهذه القيمة
بلا شك أكبر من الصفر ، وهذا يعني أن الفترة $]-\infty , 2.5[$ تحقق المتراجحة .. بالمثل
نأتي في الفترة الثانية، ونختر منها عدد ينتمي إليها وليكن 3 .. وبعد التعويض نحصل على
الآتي : $e^{11} - e^{12}$  وهذه قيمة سالبة بلا شك حيث طرحنا قيمة صغيرة من قيمة
أكبر منها، ونعلم ان السالب لا يكون أكبر من الصفر ، وبالتالي هذه الفترة لا تحقق المتراجحة،
فيكون الحل هو : x < 2.5           

4) نعتبر الدالة العددية f دالة عددية معرفة على $]0 , \infty[$ بما يلي : $f(x) = 2\ln(x) + x$

a) إحسب كلاً من $f(1)$ و $f(e)$
b) إحسب نهاية الدالة عندما تؤول x الى الصفر ، وعندا تؤول الى مالانهاية .
c) بين أنه لكل x من $]0 , \infty[$ لدينا : $f^\prime(x) = \frac{2+x}{x}$
ثم إدرس إشارة المشتقة الأولى، وإبحث إطراد الدالة .
d) بإستعمال منحنى f حدد حلول المتراجحة $2ln(x)+x-1 > 0$
-----------------------------------------------------------

• المطلوب الأول : $f(1) = 2\ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1$
و : $f(e) = 2ln(e) + e = 2+e$

المطلوب الثاني : يمكن إيجاده هندسياً (من خلال الرسم) ، أو إيجاده جبرياً (بقوانين النهايات الأساسية)، ولكن هندسياً نجده
أسهل، حيث أنه من الواضح جداً من خلال الرسم أن x عندما
تؤول الى الصفر فإن f تؤول إلى سالب مالانهاية ، وأن x
عندما تؤول إلى مالانهاية فإن f أيضاً تؤول الى مالانهاية .

• المطلوب الثالث : يريد منا إيجاد المشتقة الأولى للدالة، وهنا لا بد من معرفة قانون إشتقاق اللوغاريتم الطبيعي .. مع علمان أن مشتقة x هي 1 .

اذا كانت $f(x) = \ln(x)$ فإن $f^\prime(x) = \frac{1}{x}$ ولن الجأ إلى البرهان لأنه يحتاج إلى موضوع منفصل وحده .

نفهم مما سبق أن : $f^\prime(x) = \frac{1}{x} + 1 = \frac{2+x}{x}$ وطبعاً هذا بعد توحيد المقامات .
ونجد أن إشارة المشتقة الأولى موجبة دائماً (أي بعد التعويض بـ x عدد موجب فتعطي كسراً قيمته موجبة أيضاً،
وهذا لأن مجال الدالة ينحصر في فترة موجبة من 0 الى موجب مالانهاية .. أما إطراد الدالة، فهي تزايدية على مجالها
وهذا يظهر واضحاً من الرسم، بأن نأتي إلى أقصى شمال الدالة، ثم نسير يميناً، فنجد أنه كلما سرنا يميناً فإن المنحنى
يصعد الى أعلى، وهذا دلل كافي على أن الدالة تزايدية على مجالها .

المطلوب الرابع : يمكن تحويل المتراجحة إلى : 2ln(x) + x > 1 والتي تعني : f(x) > 1
من خلال الرسم يظهر الحل وهو عندما تكون :  x > 1
===================================================
5) حل المعادلة : ln(x-2) + ln(x+2) - ln(6x-13) = 0

الحل : نحول 0 الى ln(1) ونستعمل قوانين اللوغاريتمات المعروفة، فتطعينا الشكل التالي .

$$ln(\frac{(x + 2)(x - 2)}{6x - 13}) = ln(1)$$

وهذا يفيد بأن : $\frac{(x + 2)(x - 2)}{6x - 13} = 1$

مما يعني أن : $(x + 2)(x - 2) = 6x - 13 $

وبعد فك الأقوس (وتجميع الحدود المشابهة) نحصل على الآتي : $x^2 - 6x + 9 = 0$
ولكن هذا عبارة عن مربع كامل (يمكن ان نعرف ذلك من خلال التحلل) .. فيعطي :
$(x-3)^2 = 0$  مما يعني أن : x - 3 = 0   ومنها :  $x = 3$

 
تابع القراءة

0 ما هو إثبات صيغة كاردان، وكيفية وضع الصيغة في صورة مبسطة ؟

السبت، 20 أبريل، 2013 التسميات: ,

يمكن ذكر الخطوات سريعاً، مع العلم أنه يفضل أن تكون ملم بقوانين الأعداد المركبة الأساسية،
مثل الجذور التكعيبية للواحد الصحيح وهي 1 ، أوميجا ، أوميجا² وإذا لم تكن تعرفها يمكنك
البحث عنها في الإنترنت، لأن هذا يساعدنا في حل مسائل من هذا النوع  z³ = a .

الصيغة العامة للمعادلة التكعيبية هي : $ax^3+bx^2+cx+d=0$
وبفرض  x = y + t  .

هكذا :  $a(y+t)^3+b(y+t)^2+c(y+t)+d=0$

ولكن حتى أختصر عليك الأمور .. وُجد أنه (بعد التعويض) أن القيمة المناسبة
لـ t هي : $\frac{-b}{3a}$ والتي تجعل معامل y² صفراً ..


أي نضع : $x = y - \frac{b}{3a}$
وبعد التعويض وتنظيم الحدود وتنسيقها ينشأ لدينا المعادلة الآتية في y  .

$$y^3+ky+m=0$$

حيث : $k = \frac{-b}{3} + \frac{c}{a}$  و  $m = \frac{2b^3}{27a} - \frac{bc}{3} + \frac{d}{a}$

وفي حقيقة الأمر إذا أردت أن تحصل على صيغة كاردان في صورة مبسطة، فلا
يهمنا قيمة كلاً من k , m بدلالة معاملات المعادلة التكعيبية  حيث أننا علمنا هكذا
أن k هي معامل y وأن m هي الحد المطلق، وهذا - طبعاً - بعد التعويض عن x = y - b/3a .

والآن نكرر الخطوة سابقة الذكر مرة ثانية ...
بوضع y = f + g

$$(f + g)^3 + k(f + g) + m = 0$$

وبعد فكك إياه (وتجميع الحدود المشابهة نحصل على الآتي)

$$f^3 + g^3 + (3fg + k)(f + g) + m = 0$$

ثم نضع شرطاً للتبسيط وهو أن نضع : $(3fg + k) = 0$
فكأننا نريد أن نقول y = f + g  والتي تجعل : $(3fg + k) = 0$
ومنها نحصل على : $fg = \frac{-k}{3}$  بتكعيب الطرفين : $f^3g^3 = \frac{-k^3}{27}$
وقد قمنا بتكعيب الطرفين حتى يسهل حلها مع المعادلة الثانية التي
نتجت بعد وضعنا $(3fg + k) = 0$  وهي$f^3 + g^3 = -m $

وبعدها يتكون لدينا هذا النظام في f³ , g³ .

$$f^3 + g^3 = -m \qquad \Longrightarrow (1)$$
$$f^3g^3 = \frac{-k^3}{27} \qquad \Longrightarrow (2) $$

يمكنك حلها بطريقة التعويض، أو بأن تفرض متغيراً z
(ونكون المعادلة التربيعية بمعلومية مجموع الجذرين وحاصل ضربهما)

$$z^2 + mz - \frac{k^3}{27} = 0$$

الحل يكون بالقانون العام للمعادلة التربيعية ... نوجد المميز أولاً لأنه يعتبر
مرحلة هامة في خطوات الحل، والتي سنحدد منها ما هو عدد الحلول الحقيقية
والمركبة في حالة كان المميز أكبر من الصفر أو أصغر من الصفر أو يساوي
صفراً .. نعطى رمزاً للمميز . وليكن $\Delta$ .


$$\Delta = m^2 + \frac{4k^3}{27}$$

وللتذكرة مرة أخرى m هي الحد المطلق ، k هي معامل y .

ومن هنا فإن : $g^3 = \frac{-m - \sqrt{\Delta}}{2}$ and $f^3 = \frac{-m + \sqrt{\Delta}}{2}$

ومنها : $g = \frac{\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}}$ and $f = \frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}}$

ولكن هذا مجرد حل أول فقط، فكما تعلم أن معادلة من هذا النوع z³ = a
لها ثلاث حلول وهي (حسب ما ذكرنها) : $\sqrt[3]{a}$ و $\omega \sqrt[3]{a}$ و $\omega^2 \sqrt[3]{a}$ . حيث :
$$\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} = e^{\frac{2\pi}{3}i}$$
$$\omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} = e^{\frac{-2\pi}{3}i}$$

من هنا فإن :

حلول f هي : $\frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $

حلول g هي : $\frac{\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} and \frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $

ولكن هذه الحلول تنتج لنا 9 حلول (مع إهمال الترتيب كزوج مرتب) ممكنة
، ولكن إكتشفنا بعد ذلك أن هناك ثلاثة منهم فقط يحقق المعادلة (1) ، (2) معاً .
وكانت هذه الحلول هي كالتالي :

$$f \qquad \qquad ,  \qquad \qquad  g$$

$$\frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} \qquad , \qquad \frac{\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$\frac{\omega \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} \qquad , \qquad \frac{\omega^2\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$\frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} \qquad , \qquad \frac{\omega\sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} $$

ولكن y = f + g   و  x = y - b/3a   ومن هنا نجد أن حلول x هي :

$$x_1 = \frac{\sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}} + \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$$
$$x_2 = \frac{\omega \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}} + \omega^2 \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$$
$$x_3 = \frac{\omega^2 \sqrt[3]{-m + \sqrt{\Delta}} + \omega \sqrt[3]{-m - \sqrt{\Delta}}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$$

والذي جعلني أفكر في التبسيط بهذه طريقة المنظر الذي هالني من كبر
القانون (على ويكيبيديا) بشكل مفرط فيه جداً (انظر هنا - دالة تكعيبية) .
ولهذا ادعو كل من يهمه الأمر أن يجرب هذه الصيغة مرات متعددة في
حل معادلات تكعيبية متنوعة كي يتثبت بنفسه من صحته .

                                {عدد و طبيعة الحلول تبعاً لقيمة المميز}

بعد تحويل المعادلة من الدرجة الثالثة إلى الصورة : $y^3 + ky + m = 0$

حيث المميز : $$\Delta = m^2 + \frac{4k^3}{27}$$
                                      
                           {في حالة كان المميز > 0}    

• حل حقيقي، وهو $x_1$ + حلان مركبان .

                           {في حالة كان المميز < 0}

• جميع الحلول حقيقية (بدون تكرار) .

                          {في حالة كان المميز = 0}

• جميع الحلول حقيقية (مع تكرار 2 منهم على الأقل، إن لم يكن جميعهم) .

نحصل على حلين مكررين فقط عندما :$m^2 = \frac{-k^3}{27}$ حيث : $x_2 = x_3 = \frac{\omega \sqrt[3]{-m} + \omega^2 \sqrt[3]{-m}}{\sqrt[3]{2}} - \frac{b}{3a}$
نحصل على الثلاثة حلول مكررة عندما : $m = k = 0$ حيث : $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{-b}{3a}$

والصيغة لديك ويمكنك التأكد من ذلك بنفسك ...

وفي الحقيقة إذا تأكد لنا في معادلة تكعيبية أن :  $m = k = 0$
فهذا يعني أننا نتعامل مع منشور ذات الحدين ذي الأس 3 ، ولذا
يمكن تحويل المنشور إلى الصيغة : $(x + \frac{b}{3a})^3 = 0$

                                     {قوانين مساعدة}

• $Z = a + ib = |z| [\cos(t)+i\sin(t)] = |z| e^{it}$

• $[e^{it}]^r + [e^{-it}]^r \,\, \in \,\, \mathbb{R}$

de Moivre's formula
تابع القراءة

0 ما هي الطريقة العامة لمقارنة دالتين على فترات جزئية محددة ؟

الثلاثاء، 16 أبريل، 2013 التسميات: ,
مثلاً :f(x)=x-x^0.5 معرفة على من الصفر إلى المالانهاية
الدالة g(x)=(x^0.5)-1 معرفة من الصفر إلى المالانهاية
وf أكبر او تساوي g أياً كانت x من المجال السابق


نتبع الخطوات الآتية (في عجالة بدون تفاصيل) .

1- نوجد المجال المشترك بين الدلتين .
2- نوجد نقاط تقاطع الدالتين .
3- نأتي على أقصى يسار المجال المشترك، ونقسمه إلى فترات جزئية حسب نقاط التقاطع .. ثم  نختبر كل فترة من هذه الفترات، بأن نعوض بقيمة تنتمى اليها (شريطة ألا تكون هذه القيمة عبارة عن نقطة تقاطع الدالتين)، فإذا كانت القيمة الأكبر من نصيب أحدى الدالتين، فإن الدالة ذات النصيب الأكبر تكون أكبر من الدالة الأخرى في هذه الفترة، وحالة المساوة تتحق إذا كانت إحدى طرفي الفترة نقطة تعبر عن تقاطع الدالتين .. ونفس الشيء إذا حدث العكس .


       {نأخذ المثال الذي طرحته أنت}

سأكتبه بالعربي ...

د(س) = س - جذر(س) ، ق(س) = جذر(س) - 1

كلاً من مجال الدالة الأولى والثانية معرفة على الفترة ]∞ , 0] , ولذلك يكون هو نفسه المجال المشترك بين الدالتين .

ثانياً : نوجد نقاط التقاطع للدالتين بأن نضع د(س) = ق(س) ، فنجد أنها تكون عندما  س = 1  .

وبناء على هذا يتم تقسيم المجال المشترك إلى الفترات الجزئية الآتية :

الفترة الأولى : [1 , 0]
الفترة الثانية : [∞ , 1]

الخطوة  والأخيرة : (وهي التعويض في كل فترة في كلتا الدالتين من أجل المقارنة ..) .

في الفترة الأولى نأخذ 0.5 (على سبيل المثال فقط حيث أنه عدد مناسب وفي الوقت ينتمي للفترة) .. ونعوض به في كلتا الدالتين .. فنجد أن الدالة (د) تحوز على النصيب الأكبر ، ومن هنا فإن د > ق في الفترة [1 , 0]   .. ونفس الشيء نصنعه مع الفترتين المتبقيتين، فنجد أنه دائماً الدالة (د) تحوز على النصيب الأكبر (فيما عدا القيمة 1 طبعاً ، فهما متساويان عندها) .

النتيجة هي : د(س) ≥ ق(س)

==========================================================
مثال آخر (لتأكيد المعلومة فقط)

ليكن لدينا :  f(x) = e^x   ,  g(x) = x

المجال المشترك بينهما هو IR (جميع الأعداد الحقيقة) .. ولا توجد نقاط تقاطع ، وبناء على هذا ينشأ لدينا فترة وحيدة وهي [∞ , -∞] أو الفترة IR .. إختر أى عدد (حقيقي) وليكن الصفر .

f(0) = 1  ,  g(0) = 0  

النتيجة :  f(x) > g(x)  or  e^x > x

لجميع قيم x الحقيقية .  



تابع القراءة

0 كيف نوجد المساحة المشتركة بين تقاطع الدائرتين في هذا المثال ؟

الاثنين، 8 أبريل، 2013 التسميات:
دائرتان طولي نصفى قطراهما 8 سم . 15 سم والبعد بين مركزيهما 17 سم اوجد مساحة المنطقة المشتركة بين الدائرتين لاقرب سم²
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------








تعتمد الفكرة على قانون مساحة القطعة الدائرية..

                هـ - جاهـ
القانون هو : ـــــــــــــــــ نق²
                    2

أنظر الرابط : http://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D8%B7%D8%B9%D8%A9_%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D8%B1%D9%8A%D8%A9

حيث نق هي نصف قطر الدائرة، هـ هي زاوية القطاع الدائري الحاوي للقطعة الدائرية .. وهذا ما نحن بصدده، فنحن لدينا نق لكلتا الدائرتين، ويبقى فقط إيجاد هذه الزاوية في كل قطعة، ولتكن مساحة القطة الدائرية الأولى م1 ، والثانية م1 .

مساحة تقاطع الدائرتين = م1 + م2

المهمة الآن هي إيجاد الزاوية هـ1 ، هـ2

الحل : المثلث أ هـ1 هـ2 قائم الزاوية في أ  .. لماذا ؟

ببساطة طبق عكس نظرية فيثاغورث .. لديك :
نق1 = 15  ، نق2 = 8 والمسافة بينهما = 17
وبحسبة بسيطة نستنتج أن : ²17 = ²8 + ²15 إذن المثلث أ هـ1 هـ2  قائم الزاوية في أ .

لديك نظرية تقول : نصف القطر عمودي على الوتر وينصفه ..
ونظرية أخرى تقول : في المثلث المتساوي الساقين فيه العمود الساقط على القاعدة ينصف الزاوية المقابلة له.

من النظريتين السابقتين نستنتج أن قياس الزاوية هـ1 = 2× قياس(أ هـ1 هـ2)

                                           المقابل        8
من حساب المثلثات : جا(هـ1\2) = ــــــــــــ = ــــــــــــ
                                           الوتر           17

                              8                                  8
ومنها  هـ1\2 = جا^-1(ــــــــ)   اذاً : هـ1 = 2جا^-1(ــــــــــ)
                             17                                 17

بنفس الطريقة (وحتى لا نعيد نفس الفكرة) :

                    15
هـ2 = 2جا^-1(ـــــــــ)
                    17

ملحوظة : الزوايا بالتقدير الدائري .. ولذلك عند الحسابات يجب أن تقوم بضبط الآلة الحاسبة على التقدير الدائري أولاً .. (وهذه الخطوة هامة جداً)

       هـ1 - جا(هـ1)               2جا^-1(8\17) - جا[2جا^-1(8\7)]
م1 = ـــــــــــــــــــــ نق²1 = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ²15
              2                                           2

≈ 16.8  سم²


       هـ2 - جا(هـ2)               2جا^-1(15\17) - جا[2جا^-1(15\7)]
م1 = ـــــــــــــــــــــ نق²1 = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ²8
              2                                           2

م2 ≈ 42.6 سم²


مساحة تقاطع الدائرتين = م1+م2 ≈ 16.8 + 42.6 ≈ 59.4 سم²
تابع القراءة

0 إثبت أن : جا(54) - جا(18) = 0.5

التسميات:
• لدينا المتطابقة الآتية :  جا3س = 3جاس - 4جا³س

• يمكن إيجاد جا18 بدون آلة حاسبة (اضغط هنا - إيجاد جا(18) بدون آلة حاسبة)

                      -1 + جذر(5)
بوضع : جا18 = ـــــــــــــــــــــ
                             4

                                  --------------------الحل--------------------

جا(54) - جا(18) = جا3(18) - جا(18) = 3جا(18) - 4جا³(18) - جا(18)

= 2جا(18) - 4جا³(18) = 2جا(18)[1 - 2جا²(18)]

     -1+جذر(5)          -1+جذر(5)
= 2 ــــــــــــــــــــ [1 - 2(ـــــــــــــــــــ)²]
          4                         4

   -1+جذر(5)        6 - 2جذر(5)      
= ــــــــــــــــــــ [1 -  ــــــــــــــــــــــــــ]
       2                      8

   جذر(5) - 1      جذر(5) + 1
= ــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــ
       2                    4

     5 - 1          4
=  ــــــــــــ = ــــــــــــ = ½
       8            8 
 
===========================================
طريقة أخرى للحل :
 
هذه طريقة أخرى للحل، بإستعمال المتطابقات الآتية :
                             س+ص       س-ص
• جاس - جاص = 2جتا(ـــــــــــــ) جا(ــــــــــــ)
                                2               2
• جا2س = 2جاس جتاس

• جتاس = جا(90 - س)

--------------------- الحل -----------------------

                            54 + 18     54 - 18
• جا54 - جا18 = 2جتا(ـــــــــــــ) جا(ــــــــــــ)
                                2              2
= 2جتا36 جا18    ==> (1)

ولكن :• جا36 = 2جا18 جتا18

                  جا36
ومنها جا18 = ــــــــــــــ    بالتعويض في (1)
                  2جتا18

                                      جا36
جا54 - جا18 = 2جتا36 × ــــــــــــــ
                                    2جتا18

البسط = 2جا36 جتا36 = جا72   (قانون ضعف الزاوية)

                             جا72
إذن : جا54 - جا18 = ــــــــــــ         ==> (2)
                            2جتا18

ولكن : • جتا18 = جا(90 - 18) = جا72

                             جا72
إذن : جا54 - جا18 = ــــــــــــ = ½
                            2جا72 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
تابع القراءة
 
mathematics problem solving © 2010 | تعريب وتطوير : سما بلوجر | Designed by Blogger Hacks | Blogger Template by ياعرب