م = 0.25ن × س² × ظا[( ن - 2 )( ط\2ن )]               (1)
نق = 0.5س × ظا[( ن - 2 )( ط \2ن )]                     (2)
اوجد نها م عند ن تؤول للمالانهايه

الحل : اولاً نوجد م بدلالة ن فقط، وهذا يتطلب منا ان نتخلص من س بدلالة ن كالـآتى : -

من العلاقة الثانية : نق = 0.5س × ظا( ( ن - 2 )( ط \2ن ))

                                      2نق
نجد ان س =  ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  
                          ظا[( ن - 2 )( ط \2ن )]

 بالتعويض فى علاقة (1)
م = 0.25ن × س² × ظا[( ن - 2 )( ط\2ن )]               (1)

                               2نق
م = 0.25ن ×[ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ]² × ظا[( ن - 2 )( ط\2ن )]
                   ظا[( ن - 2 )( ط \2ن )]


                   ن نق²
م = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
        ظا[( ن - 2 )( ط \2ن )]
                                               ط          
سنعيد ترتيب زاوية الظل : ( ن - 2 )( ـــــــ )  = ط/2 - ط/ن
                                              2ن        


                 ن نق²
م = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
          ظا(ط/2 - ط/ن)

                         ن نق²
نهـــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ∞/∞  كمية غير معينة
ن←∞          ظا(ط/2 - ط/ن)

لاحظ ان مدى الظل الى مالا نهاية .. وعندما نعوض بـ ن = ∞
فإن الزاوية تقترب جداً من 90 وهذه القيمة تقترب من الانهاية ..
نشتق كلاً من البسط والمقام على جدى ( حسب قاعدة لوبيتال)
((( لااااااااااااااحظ  .. الإشتقاق بالسبنةلـ ن  )))
النهاية بعد الإشتقاق تصبح :

                          نق²
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ن←∞        ط/ن² قا²(ط/2 - ط/ن)

لاحظ ان اشتقاق ظا(ط/2 - ط/ن) = مشتقة الزاوية × مشتقة الدالة نفسها

وهذه الصيغة تكافىء ( بعد التعديل )


             نق² ن² جتا²(ط/2 - ط/ن)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ن←∞                 ط

ولكن جتا²(ط/2 - ط/ن) = جا²(ط/ن)         الزاوية المتممة لها ..


                نق² ن² جا²(ط/ن)
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ن←∞                 ط

نلاحظ ايضاً ان هذه النهاية = ∞/∞  (( جربها بنفسك، لكن بصيغة أخرى غير هذه ))
نشتق مرة أخرى كلاً من البسط والمقام على حدى .. ولكن قبل اجراء الإشتقاق
نضرب بسطاً ومقاماً فى  ن  حتى نستطيع حلها بقاعدة لوبيتال ..


                نق² ن³ [جا(ط/ن) ]²
نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ن←∞                 ط ن

لاحظ البسط عبارة عن مشتقة الأول × الثانى + مشتقة الثانى فى الأول

                 3نق² ن² [جا(ط/ن) ]² + 2جا(ط/ن) × (-ط/ن²) جتا(ط/ن) نق² ن³
= نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   ن←∞                                       ط


                     3نق² ن² [جا(ط/ن) ]² - جا(2ط/ن) × ط ن نق²
= نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   ن←∞                                       ط

بالضرب بسطاً ومقاماً فى  ط/ن²     ... لماذا ؟؟


                     3نق² ط [جا(ط/ن) ]² - جا(2ط/ن) × (ط²/ن)  نق²
= نهـــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   ن←∞                                  (ط/ن)²

 لاحظ  عندما تسعى ن الى ∞  فإن   ط/ن  يسعى الى الصفر ، وبناء عليه :-
يكون : [جا(ط/ن) ]² / (ط/ن)² = 1          .. تابع

                              جا(2ط/ن) × (ط²/ن)  نق²
=  3نق² ط - نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                  ن←∞             (ط/ن)²

نقوم بضرب النهاية الثانية بسطاً ومقاماً فى 2 .. لماذا ؟؟


                              2جا(2ط/ن) × (ط²/ن)  نق²
=  3نق² ط - نهـــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                  ن←∞        (2ط/ن) (ط/ن)

= 3ط نق² - 2ط نق²  = ط نق²

نستغل خاصية مهمة جداً فى حساب المثلثات، وهى ان :
جيب الزاوية = الجيب المتمم للزاوية المتممة

وايضاً نستطيع استعمال خاصية جا ضعف الزاوية،
وقانون مجموع زاويتين، او الفرق بينهما ... الخ

جا36 = جتا54

2جا18جتا18 = جتا(36+18)

2جا18جتا18 = جتا36 جتا18 - جا36 جا18

2جا18جتا18 = جتا36 جتا18 - 2جا18جتا18 جا18   بقسمة الطرفين على جتا18

2جا18 = جتا36 - 2جا²(18)    ولكن جتا36 = جتا2(18) = 1 - 2جا²(18)

2جا18 =  1 - 2جا²(18) - 2جا²(18)

2جا(18) =  1 - 4 جا²(18)           بترتيب الحدود نحصل على :

4جا²(18) + 2جا(18) -1 = 0      نفرض ان : جا18 = ص

4ص² + 2ص - 1 = 0         ( الحل بالقانون العام)

المميز = جذر( 4 + 16) = 2جذر5



           -2 ± 2جذر5                   -1± جذر5
ص = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ  = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                  8                                 4

                      -1 + جذر5
اذاً  جا18 = ــــــــــــــــــــــــــــــــ
                           4

(( لاحظ ان الحل السالب مرفوض،، لأن جا موجبة فى الربع الأول ))

نعلم من قانون مجموع زاويتين، والفرق بينهما الآتى : -


جتا[(س+ص) + (س-ص) ] = جتا(س+ص) جتا(س-ص) - جا(س+ص) جا(س-ص)         (1)


جتا [(س+ص) - (س-ص)] = جتا(س+ص) جتا(س-ص) + جا(س+ص) جا(س-ص)         (2)


ـــــــــــــــــــــــــــــــ بطرح  (2) من (1) ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


جتا2س - جتا2ص = -2 جا(س+ص) جا(س-ص)

(( وبوضع  س بدلاً من 2س ، ص بدلاً من 2ص للطرفين .. لأنها متطابقة ))


جتاس - جاص = -2جا½(س+ص) جا½(س-ص)


وهكذا حصلنا على المطلوب، اذا كنت تعلم لهذا القانون اثبات آخر، فأحضره لنا
حتى يستفيد منه الجميع .. تحياتى

                  جتاس - جاس
نهــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
س←ط/4         س - ط/4

عند التعويض بـ س = ط/4 تعطى كمية غير معينة

لاحظ ان جاس = متممة جتاس .. بمعنى
جاس = جتا(ط/2 - س )   وليس كما كتبت س - ط/2  لأ العكس هو اللى صحيح
طيب لو كتبناها  س - ط/2  يحصل حاجة ؟؟ طبعاً لا .. لماذا ؟؟
لأن جتا(-س) = جتاس  (( ارجو ان تكون هذه الخطوة واضحة ))


                      جتاس - جتا(س - ط/2 )
= نهــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
   س←ط/4                س - ط/4


هناك قانون هام فى حساب المثلثات وهو يقتضى الآتى :

جتاس - جتاص = -2جا½(س+ص)جا½(س-ص)

وبناء عليه يكون :

جتاس - جتا(س - ط/2) = -2جا½(س+س -ط/2)جا½(س - س + ط/2)

= -2جا½(2س -ط/2)جا½( ط/2)

= -2جا(س - ط/4) جا(ط/4)     بالتعويض فى النهاية الأصلية

   
                -2جا(س - ط/4) جا(ط/4)
نهـــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 س←ط/4           (س - ط/4)


                                  جا(س - ط/4)
= -2جا(ط/4) نهـــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
                 س←ط/4        (س - ط/4)


                          جا(س - ط/4)              
ولكن نهــــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 1     (( راجع نهاية الدوال المثلثية ))
       س←ط/4          (س - ط/4)

                                                                  جذر2
فيكون شكل النهاية الأخير = -2جا(ط/4) = -2 × ـــــــــــــــــ = - جذر2
                                                                    2


ملحوظة أخيرة : يمكن حل هذه النهاية بقاعدة لوبيتال
لكنها غير مسموح بها ( فى المدارس )

لو دققت فى الرسم جيداً ربما تفهم المعنى الهندسى للمشتقة الأولى المشتقة معناها ايجاد ميل الدالة .. ولما كان ميل الدالة الأعلى من الدرجة غير غير ثابت .. اوجدنا معدل تغير ص على معدل تغير س .. لماذا ميل الدوال من الدرجة ما بعد الأولى غير ثابت ؟؟ لأنهم يشكلون منحينيات وليس خط مستقيم .. فهل المنحنى خط مستقيم يميل ؟؟ ام انه يميل على جميع النقاط التى تقع عليه ؟؟ اى ان كل نقطة .. او كل نقطتين قريبتين جدا جدا على المنحنى لهما ميل خاص .. ولما كان ذلك كذلك افترضنا انهم نقطة واحدة نظرا ً لأن الفرق بينهم يؤوول الى الصفر .                                    معدل تغير ص        فرق الصادات عندما يؤوول الى الصفر الميل = المشتقة الأولى = ــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ                                    معدل تغير س        فرق السينات عندما يؤول الى الصفر فإذا عوضنا فى رقم فى الدالة وليكن س  ستكون الأخرى س + هـ حيث هـ الفرق بين س الثانية وس الأولى .. وهـ تؤول الى الصفر               فرق الصادات            د( س + هـ )   -  د ( س ) الميل = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ              فرق السينات                            هـ وبوضع هـ = 0  نظرا ً لأنها قيمة مهملة تؤول الى صفر             د( س +0 )   -  د ( س )          د(س) - د (س)       0 الميل = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  = ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ = كمية غير معينة                            0                             0                   0 0/0 كمية غير معينة اى ان ناتج ( المشتقة الأولى ) لم يتعين .. فنلجأ الى حيلة أخرى وهى ان نوجد قيمة هذا المقدار عندما هـ تقترب او تؤول الى الصفر .. ونسمى هذا بمعدل التغير . معدل التغير ( المشتقة الأولى )                      د( س + هـ )   -  د ( س ) =  نهـــــــــــــــــا   ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ       هـ ← 0                    هـ نفرض ان الدالة تقول د(س) = س²    فما قيمة دَََ(س) = ؟؟                      د( س + هـ )   -  د ( س ) =  نهـــــــــــــــــا   ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ       هـ ← 0                    هـ د ( س + هـ ) معناها شيل كل س فى الدالة وضع مكانها  س + هـ مرة أخرى .. المسألة من جديد                           ( س + هـ )²   -  س² =  نهـــــــــــــــــا   ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   (( بتحليل المقام مربع كامل ))       هـ ← 0                    هـ                        س² + 2هـ س + هـ² - س²                        2هـ س + هـ² = نهــــــــــــــــــا  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــــــا  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ      هـ ← 0                      هـ                      هـ ← 0                  هـ                           هـ ( 2س + هـ ) = نهـــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  (( بعد اختزال العامل الصفرى هـ بسطا ً ومقاما ً ))     هـ ← 0                   هـ = نهـــــــــــــــــــا  2س + هـ    ولما كانت قيمة هـ مهملة وضعنها بصفر       هـ ← 0 = 2س    اذا ً مشتقة  س²  = 2س لكن انا اتحدث فى حالة تريد ان تطبق العام على الخاص .. بمعنى ان تضع مكان الأس ن فتقول د(س) = س^ن    فهذا النوع من الإثبات اذا اوجدناه بمعدل التغير سيكون من الصعب قليلا ً حيث ان قيمة الأس  ن مجهولة  .. لكن بعد معرفتنا بـ اللوغاريتم الطبيعى لط فكان الأمر سهل ان نثبت ان مشتقة  س^ن    =  ن س^(ن-1) وقد اثبت لك كيف نثبتها عن طريق أخذ اللوغاريتم الطبيعى للطرفين د(س) = س^ن   لط د(س) = لط س^ن لط د(س) = ن لط (س)     (( حيث ن ثابت )) وبعد ان نشتق الطرفين بالنسبة لـ س هذا الإثبات يجب ان تكون على معرفة جيدة باللوغاريتم الطبيعى وخواصه وطريقة اشتقاقه .   دَ(س)         ن ــــــــــــ  = ــــــــــــ   د(س)        س                 ن  د (س) دَ(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــ    ولكن د(س) = س^ن                     س                ن س^ن دَ(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــ  = ن س^(ن-1)                   س

متسلسلة تايلور - ماكلورين .. تعتبر من اهم طرق النشر
والتحليل فى الرياضيات، عند حل تمارين الرياضيات
قد تستوقفك طرق معينة للنشر والتحليل، مثل التحليل
بالتقسيم، والتحليل كفرق ومجموع مربعين، وتحليل 
المربع الكامل، وغيرها من طرق النشر والتحليل
المعروفة، هل تريد ان تعرف ما هى المتسلسلة التى
لخصت كل هذه الطرق فى مضمون واحد وفكرة واحدة ؟
.. نعم انها متسلسلة تايلور، وماكلورين ... واليك فكرة
بسيطة عنها .
ننطلق من النظرية الاساسية فى حساب التفاضل والتكامل
ونظرية القيمة الوسطى ..


س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )
أ

ولكن نظرية القيمة الوسطى تقترح عليك الآتى


س
∫  دَ(س) دس  = دَ(جـ) ( س - أ )
أ

وهذه نظرية القيمة الوسطى للتكاملات .. سأثبتها اولا ً


س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )                  اقسم على ( س - أ ) وبعد كدا اضربها
أ


س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )
أ                     ــــــــــــــــــــــ   ( س - أ )
                         س - أ

          د(س) - د( أ )
اليس : ـــــــــــــــــــــــــــ = متوسط التغير ؟؟ دَ(جـ) التى تقترحها مبرهنة القيمة الوسطى
              س - أ

اذاً :

س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )
أ

وايضاً :

س
∫  دَ(س) دس  = دَ(جـ ) ( س - أ )   حيث جـ عنصر ما بين الفترة من س الى أ
أ

اذاً هو نفس التكامل المحدد لكن له قيمتان .. نستنتج ان


دَ(جـ ) ( س - أ ) = د( س ) - د ( أ )
ولكن بتعميم اكثر وادق ماذا لو بدأنا
البرهان بالخلف ( بالتراجع )
اى اننا نبدأ من المتشقة النونية الى ان نصل الى الدالة نفسها ؟؟

س
∫  د^ن(س) دس   = د^(ن-1)[س] - د^(ن-1) [ أ ]
أ

وايضا ً :

س
∫  د^ن(س) دس = د^ن(جـ) ( س - أ )
أ


حيث جـ عنصر ينحصر فى الفترة [ س ، أ ] حسب مبرهنة القيمة الوسطى


اذاً :

د^ن(جـ) ( س - أ ) = واليك الإثبات : ننطلق من النظرية الاساسية فى حساب التفاضل والتكامل
ونظرية القيمة الوسطى ..


س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )
أ

ولكن نظرية القيمة الوسطى تقترح عليك الآتى


س
∫  دَ(س) دس  = دَ(جـ) ( س - أ )
أ

وهذه نظرية القيمة الوسطى للتكاملات .. سأثبتها اولا ً


س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )                  اقسم على ( س - أ ) وبعد كدا اضربها
أ


س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )
أ                     ــــــــــــــــــــــ   ( س - أ )
                         س - أ

          د(س) - د( أ )
اليس : ـــــــــــــــــــــــــــ = متوسط التغير ؟؟ دَ(جـ) التى تقترحها مبرهنة القيمة الوسطى
              س - أ

اذاً :

س
∫  دَ(س) دس  = د(س) - د( أ )
أ

وايضاً :

س
∫  دَ(س) دس  = دَ(جـ ) ( س - أ )   حيث جـ عنصر ما بين الفترة من س الى أ
أ

اذاً هو نفس التكامل المحدد لكن له قيمتان .. نستنتج ان


دَ(جـ ) ( س - أ ) = د( س ) - د ( أ )
ولكن بتعميم اكثر وادق ماذا لو بدأنا
البرهان بالخلف ( بالتراجع )
اى اننا نبدأ من المتشقة النونية الى ان نصل الى الدالة نفسها ؟؟

س
∫  د^ن(س) دس   = د^(ن-1)[س] - د^(ن-1) [ أ ]
أ

وايضا ً :

س
∫  د^ن(س) دس = د^ن(جـ) ( س - أ )
أ


حيث جـ عنصر ينحصر فى الفترة [ س ، أ ] حسب مبرهنة القيمة الوسطى


اذاً :

د^ن(جـ) ( س - أ ) = د^(ن-1)[س] - د^(ن-1) [ أ ]

وارجو عدم الإنزعاج من هذا .. د^(ن-1) ليس المقصود من ^ هنا اى اس
لا لا  .. المقصود منها المشتقة النونية مطروح منها واحد فقط ..
يعنى مثلاً لو احنا بدأنا بالخلف من المشتقة 3  اذاً المشتقة ن - 1 ستكون
المشتقة الثانية .. وهكذا .


د^ن(جـ) ( س - أ ) = د^(ن-1)[س] - د^(ن-1) [ أ ]

وبمكاملة الطرفين بالنسبة لـ س فى نفس الفترة من س الى أ  ينتج ان :

             ( س - أ )²                           س                             س
د^ن(جـ) ــــــــــــــــــــــ =[ د^(ن-2)[س]  ]    - [ د^(ن-1) [ أ ] س  ]
                  2                                  أ                                أ


لاحظ ان كلاً من د^ن(جـ) ، د^(ن-1)[ أ ]  ثوابت
الآن نقوم بفك هذا التكامل المحدود :


             ( س - أ )²                           س                             س
د^ن(جـ) ــــــــــــــــــــــ =[ د^(ن-2)[س]  ]    - [ د^(ن-1) [ أ ] س  ]
                  2                                  أ                                أ

           ( س - أ )²
د^ن(جـ) ــــــــــــــــــــ = د^(ن-2)[س] - د^(ن-2)[ أ ] - د^(ن-1) [ أ ] س + د^(ن-1) [ أ ] أ
                2

نقوم مرة أخرى بمكاملة الطرفين بالنسبة لـ س فى نفس الفترة ..
وصلنا الى :

           ( س - أ )²
د^ن(جـ) ــــــــــــــــــــ = د^(ن-2)[س] - د^(ن-2)[ أ ] - د^(ن-1) [ أ ] س + د^(ن-1) [ أ ] أ
                2

              (س - أ )³                            س                          س
د^ن(جـ) ــــــــــــــــــــــــ = [ د^(ن-3)[س] ]  - [ د^(ن-2)[ أ ] س ]
                 2 * 3                               أ                             أ
                                س                                س
- [ د^(ن-1)[ أ ] س² / 2 ]     + [ د^(ن-1) [ أ ] أ س ]
                                أ                                    أ

نقوم بفك التكاملات المحددة ..

             (س - أ )³
د^ن(جـ) ــــــــــــــــــــــ  = د^(ن-3)[س] - د^(ن-3)[ أ ] - د^(ن-2)[ أ ] س + د^(ن-2)[ أ ] أ
               2 * 3

- د^(ن-1)[ أ ] س² / 2 + د^(ن-1)[ أ ] أ² / 2  + د^(ن-1) [ أ ] أ س - د^(ن-1) [ أ ] أ²


نقوم مرة أخرى بمكاملة الطرفين بالنسبة لـ س فى الفترة المحددة من س الى أ  ينتج ان :

            (س - أ )^4
د^ن(جـ) ــــــــــــــــــــــ = ......
              2 * 3 * 4

لماذا لم اكمل باقى الخطوات ؟؟ بكل بساطة لأنها طويلة جدا ً وهى معك الى مالا نهاية ..
لكن الأهم هو ان نعرف الى ماذا سنتنتهى معى بعد مكاملتها عدة مرات ؟؟
من خلال الإستقراء الرياضى سنجد انها تنتهى عند مشتقة صفرية .. ن - ن = 0
ما معنى مشتقة صفرية ؟؟ اكيد هى الدالة الاصلية هى المشتقة الصفرية ..
ملحوظة : حدين كهذين مثلاً : د^(ن-1) [ أ ] أ س - د^(ن-1) [ أ ] أ²
ممكن ان نأخذ منهم د^(ن-1) [ أ ] أ عامل مشترك
د^(ن-1) [ أ ] أ  ( س - أ )  .... وهكذا فأرجو ان تنتبهوا لذلك .. وبناء على هذا الترتيب
فى الحدود والتنسيق فيها تكون المتسلسلة على هذا الشكل ..

         
              ( س - أ )^ن                                         دً(أ)                دً َ(أ)
د^(ن)(جـ) ــــــــــــــــــــــ = د(س) - د(أ) - دَ(أ) (س-أ) - ــــــــــ (س-أ)² - ـــــــــ (س-أ)³ - ....
                    ن!                                                 2                  3!

ثم نؤدى الحدود السالبة الى الطرف الآخر ونجعل د(س) لوحدها فى طرف ينتج ان

                                     دً(أ)                دً َ(أ)                                  ( س - أ )^ن
د(س) = د(أ) + دَ(أ) (س-أ) + ــــــــ (س-أ)² + ـــــــ (س-أ)³ + ..... + د^(جـ) ــــــــــــــــــــــ
                                      2!                  3!                                          ن!

حيث جـ عنصر ما بين الفترة من س الى أ التى تقترحها عليك مبرهنة القيمة الوسطى .
ملحوظة أ = اى شىء ... ضع 1  صح .. ضع 2 صح ايضاً .. ضع صفر ؟؟ صح
وهذه ما تسمى بمتسلسة ماكلورين .. اى اننا ننشر الدالة فى الفترة [ س ، 0 ]
اى عندما تقترب من الصفر ..

                                 دً(0)            دً َ(0)                                  س^ن
د(س) = د(0) + دَ(أ) س + ـــــــ س² + ــــــــــ س³ + ........ + د^(جـ) ــــــــــــ
                                  2!                3!                                      ن!

وهذا هو مفكوك " ماكلورين حالة خاصة من متسلسلة تايلور .
اما نسبة الخطأ فى مفكوك تايلور وماكلورين :
           
                   ( س - أ )^ن+1
= د^(جـ) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ       وسنتحدث عنه لاحقاً ..
                      ( ن + 1 )!


والإثبات ان المشتقة ما بعد النونية لابد ان تكون بصفر من اجل ن عدد صحيح .. لماذا ؟؟
مثال : اوجد المشتقة ما بعد النونية للدالة د(س) = س³

دَ(س) = 3س²
دً(س) = 6س
دً َ ( س) = 6   وهذه هى المشتقة النونية (( وهى هنا المشتقة الثالثة ))
اما المشتقة الرابعة (( مشتقة ما بعد المشتقة النونية )) = صفر
نظراً لأن 6 عدد ثابت مشتقة = 0

ولكن ماذا لو ن عدد غير صحيح او ادالة ليست فيها اس اصلاً كـ جا وجتا .... وغيرها .. ؟!
من اجل ذلك ننبه انه واذا كانت ن صحيح عند اعادة تعريفنا للدالة لا نضع نسبة الخطأ هذه
لأنها بالتأكيد ستكون بصفر .












للمزيد يمكنك زيارة هذا الرابط ،

لن تتخيل المعنى الكامل للتباديل والتوافيق الا اذا
اخذت ابتدائا ً نظرية ذات الحدين .. لذلك لا ترهق
نفسك .. وتحاول ان تصل الى مدى استخدامها
فى الرياضيات حالياً وانت لم تأخذ نظرية واحدة
تطبيقية عليها ..!

عموما ًَ : التباديل هى نظام متبع يتم فيه الترتيب بين العناصر
ولا يهم التكرار .. التوافيق مثلها لكن نزيل منها التكرات بالقسمة عليها ..
وهى لا تهتم بالترتيب .

مثال تطبيقى : محمد ، على ، حسن  .. واقفين فى شارع
فضاء العينة هنا هو (( التباديل )) اى اننا نبدل بين طريقة
وقفهم (( يمين - وسط - شمال )) .. السؤال بكم طريقة
يمكن وقوف كلا ً من محمد ، على ، حسن ؟؟

محمد - حسن - على
على - حسن - محمد
محمد - على - حسن
حسن - على - محمد
حسن - محمد - على
على - محمد - حسن

اذا ً هم 6 طرق .. من خلال الملاحظة ممكن
تكتب هكذا

ل ( 3 ، 3 ) تقرأ تبديل 3 مأخوذة فى ترتيب 3

= 3 * 2 * 1 = 6

ايضا ً ل ( 3 ، 3 ) = 3 ! = 6  طرق

التباديل مجموعة من العناصر  " ن " مرتبة بترتيب معين
مأخوذة راءا ً راءا ً ...

ل ( ن ، ر )

ل ( 5 ، 3 ) = 5 * 4 * 3 = 60

التوافيق لا تهتم بالترتيب، لذلك لا نريد تكرار فى العناصر

مثلا ً فى المثال السابق :

محمد - حسن - على
على - حسن - محمد
محمد - على - حسن
حسن - على - محمد
حسن - محمد - على
على - محمد - حسن

ماذا تلاحظ ؟؟ كلهم مكررين ..!! لكن بترتيب مختلف
اذا ً عندما نوفق بينهم تكون الطريقة هى واحدة ؟؟!!!

توفيق ( 3 ، 3 ) = 1

تقرأ
      3 فوق 3 = 1

وهكذا  ن فوق ن = 1

                               ل (  ن ، ر )
نظرية هامة : ن فوق ر = ــــــــــــــــــــــ
                                    ر !

طبعاً هذه مجرد لمحة سريعة جداً، انما الحديث عن التباديل
والتوافيق موضوع شرحه يطول، ولا يمكن شرحه، واستيعابه
فى موضوع واحد فقط .

عند تحليلك لهذا المقدار مثلاً .. ماذا تلاحظ ؟؟


(س + 1)³ = (س+1)² (س+1) 


= (س+1) ( س² + 2س + 1 )


= س³ +2س² + س + س² + 2س + 1


= س³ + 3س² + 3س + 1 


الا ترى انها طريقة شاقة ؟؟


هناك طريقة اسرع لتحليل هذا المقدار وهى :


فى اى نظام رياضى فيه : ( س + أ )³ 
فإننا :
نقوم بتعكيب الحد الأول + تعكيب الحد الثانى + مربع الأول فى الثانى فى 3
                                                        +مربع الثانى فى الأول فى 3




مثال : (س+أ)³ = س³ + 3أس² + 3أ²س + أ³     (( هذه الصيغة العامة ))


مثال آخر : (س+3)³ = س³ + 27 + س² × 3 × 3 + 9 س × 3  


= س³ + 9س² + 27س + 27


وهذه القاعدة ما هى الا حالة واحدة من نتائج  ( نظرية ذات الحدين )


ولكى تعم الفائدة هناك مثلث يسمى ( مثلث باسكال )
هذا المثلث يدرس معاملات الحدود فى نظرية ذات
الحدين، والتى هى عبارة عن توافيق الحدود، مرتبة
ترتيب جيد فى مثلث يبدأ عند الواحد، الى اللانهاية
يتميز هذا المثلث فى انه : جميع حروف اطرافه تبدأ بـ 1
وبعد الواحد عند الطرفين تنتهى بنفس الرقم والذى يعبر
عن درجة ( القوس ) مثلاً (س+أ)³  درجة القوس
هنا 3  ... ثم باقى المثلث اذا فهمته تستطيع ان تحفظه
بسهولة، لأنه يسهل عليك طريقة العمليات الجبرية .

مثلث باسكال حتى المرتبة رقم " 18 " للمزيد يمكنك مشاهدة هذا الرابط

............................................................................


بص يا سيدى لو فهمت الحساب بتاع ابتدائى كويس اوى هتفهم الجبر
هتقولى ازاى .. هقولك مثال واحد وانتا هتفهمنى بعد كدا

س + ص = 6
س - ص = 4        فى سؤالك قالك حل المعادلتين معا ً
                       اى يريد منك ايجاد س ، ص

الحل سيكون بطريقة الحذف ومن ثم جمع معادلة واحد مع معادلة اتنين

س + ص = 6
س - ص = 4
ــــــــــــــــــــــــــــــ

2س = 10   ومنها  س =  5
بالتعويض فى  ( 1 )  مثلا ً

5 + ص = 6    ومنها  ص = 6 - 5    اى ان ص = 1

مجموعة الحل = {(5،1)}



هذا من ناحية الجبر .. اما من ناحية الحساب
لماذا  نجمع الطرف الايمن مع الطرف الايمن
والطرف الايسر مع الطرف الايسر ؟؟

مثال 2 )  

           5  +  9   = 14
          10  - 9     =  1  
    ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
    هل  ( 5 + 9 )  + ( 10 - 9 )  =  14  +  1    .....؟؟

              14    +         1       =   14  +   1
         
                     15                 =      15  

تحققنا من خلال المعادلة الحسابية السابقة انه اذا
كان عندنا اكثر  من نظام لأكثر من معادلة فأنه يمكن
جمع الاطراف اليمنى معا ً فى طرف ايمن ، وايضا ً
جمع الاطراف اليسرى معا ً فى طرف ايسر .. ما ينطبق
على الجميع ينطبق على الطرح ، وكذلك باقى العمليات
الحسابية  الضرب .. القسمة ...


الخلاصة ) عدم فهمك للرياضيات هى انها لا تأتى فى صورتها مباشرة
كما هى .. كما فى الحساب  (( ابتدائى )) لكن المسألة ابسط من ذلك
بكثير .. كل ما ينطبق على الحساب العادى ينطبق على الجبر ايضا ً ..

∫sec(x).dx = ∫sec(x) × [sec(X) + tan(x) ]/[sec(x) + tan(x) ] dx

∫ [ sec²(X)+sec(x).tan(x) ] / [sec(x)+tanx(x)] dx

لاحظ ان البسط مشتقة المقام ..

=ln[sec(x)+tan(x)] + c

f(x)=arctan(x²+1)

ستكون اشتقاق هذه الدالة امر سهل
اذا ما عرفت ما هو اشتقاق الدالة العكسية
لظل الزاوية .. اسمحلى هكتب بالعربى ..

ص = ظا^-1(س² + 1)     ، وهذا معناه ان :  س² + 1 = ظا(ص)

                   بإشتقاق الطرفين بالنسبة لـ س

2س = صَ قا²ص

   (( تذكر مشتقة الدالة المثلثة = مشتقة الزاوية × مشتقة الدالة نفسها ))


صَ = 2س/قا²(ص)     اذاً :  صَ = 2س × جتا²ص

لاحظ ان مقلوب قا²ص = جتا²ص

ولكن : من خلال العلاقة اعلاه : س² + 1 = ظا(ص)  وبرسم مثلث فيثاغورث

                         (( انظر الرسم ))



















                                                         1
ومن الرسم نستنتج ان : جتاص =  ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                            جذر[(س² + 1)² + 1 ]

بالتعويض فى المشتقة الأصلة : صَ = 2س × جتا²ص

                                       1
صَ = 2س ×[[ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   ]]²
                        جذر[(س² + 1)² + 1 ]


                            1                               2س
صَ = 2س × ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                   (س² + 1)² + 1              (س² + 1)² + 1


ولإتشقاق هذا النوع من المسائل ( بصفة عامة نورد ما يلى )




                                        مشتقة الزاوية
مشتقة الظل العكسى = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                                        مربع الزاية  + 1

أ ب جـ  د متوازى اضلاع فيه أ (3 ، 4) ، ب (2،-1) ، جـ (-4،-3)  اوجد د :


الحل :





أ ب جـ  د متوازى اضلاع فيه أ (3 ، 4) ، ب (2،-1) ، جـ (-4،-3)  اوجد د :


اولاً انظر الرسم، ومن ثم نوجد نقطة د من قانون البعد بين نقتطين .. الحل فى المرجع :


من خواص متوازى الأضلاع نجد ان : طول أب = د جـ


أب = جذر[(3-2)² + (4--1)² ] = جذر(1+25) = جذر(26) 


وبفرض ان احداثى النقطة د (س،ص)


د جـ = جذر[(س+4)² + (ص+3)² ] = جذر(26)


(س+4)² + (ص+3)² = 26


س² + 8س + 16 + ص² + 6ص + 9 = 26


س²+ص² + 8س + 6ص = 1                     (1)


ولكن ايضاً : ب جـ = أ د         (( من خواص متوازى الأضلاع ))


ب جـ = جذر[(2+4)² + (-1+3)²] = جذر(36+4)=جذر(40) 


أ د = جذر[(س-3)² + (ص-4)²] = جذر(40)


(س-3)² + (ص-4)² = 40


س² -6س + 9 + ص² - 8ص + 16 = 40


س²+ص² -6س - 8ص = 15                      (2)


س²+ص² + 8س + 6ص = 1                     (1)


ـــــــــــــــــ بطرح (1) ، (2) ــــــــــــــــــــــــــــــ
-14س - 14ص = 14   بالقسمة على -14


س + ص = -1     ومنها ص = -(س+1)   بالتعويض فى (1)


س²+ص² + 8س + 6ص = 1                     (1)


س² + س²+2س + 1 + 8س -6س - 6 = 1


2س² + 4س -6 = 0     بالقسمة على 2


س² + 2س - 3 = 0    


(س - 1 ) ( س + 3 ) = 0


 اما س = 1         ،   اما س = -3




              بالتعويض فى العلاقة : س+ص = -1


اما ص = -2          ،   ص  = 2


اذاً : احداثى نقطة د : اما ( 1 ، -2 )   ،  واما  ( -3 ، 2 )


ولكن النقطة ( 1 ، -2 ) لا تحقق شرط المطلوب من المسألة
اذاً النقطة الصحيحة هى ( -3 ، 2 ) هى احداثى النقطة د .

حل تمارين الرياضيات من هذا النوع يعتمد فى الأساس على تحديد جميع النقاط
التى تحقق المتباينة .. بمعنى تابع معى خطوات الحل 


2|س| + 3 ≥ ص     عند رسمها نتعمد ان نضع مكان الإشارة ≥  نضع مكانها علامة المساوه مؤقتاً


2|س| + 3 = ص         هذه دالة مقياس ..


                               
احداثى نقطة الرأس = ( 0 ، 3 )  .. ولكن الإشارة خارج المقياس موجبة
اذاً رسمة الدالة لأعلى ..  انظر الرسم فى ملحق السؤال ..


ستجد ان هذه الدالة قسمت المستوى الإحداثى الى شقين .. شق منهم مقبول
وشق منهم مرفوض .. كيف عرفنا ؟؟


2|س| + 3 ≥ ص             انظر الرسم ستجد ان هناك نقطة اعلى الدالة ( كمثال يعنى )
                                 ولتكن النقطة (0 ، 5 )   هل هى تحقق شروط المتباينة ؟؟؟؟
                                                         (( بالتعويييض ))
               ؟؟
2|0| + 3     ≥         5    طبعاً كلام خاطىء 100% لأن 3 ليست اكبر من ولا حتى بتساوى 5


اذاً الشق الثانى هو المقبووووول .. انظر الرسم












































للمزيد يمكنك الضغط على هذا الرابط

هو الدالة العكسية للأسس .. لتوضيح ذلك اذا قولنا مثلا ً


ص = 2^س هذه دالة اسية اما اذا قولنا س=2^ص فهذه دالة لوغاريتمية
لأننا بدلنا س مكان ص والدالة تكتب هكذا ص = كذا .. فكيف ااكتب هذه الدالة
بشكلها الصحيح ؟؟ س=2^ص اقول بأخذ اللوغاريتم الطبيعى للطرفين


لو س = لو 2^ص ومنها ص لو2 = لوس ومنها ص = لوس / لو 2


اى ن ص = لوس (( وتقرأ لوغاريتم س للأساس 2 ))
              2


مما سبق نستنج ان الاساس فى الدالة الاسية هو نفس الاساس
فى الدالة اللوغاريتمية و س التى كانت اس فى الدالة الاسية اصبحت
دليل اللوغاريتم فى الدالة اللوغاريتمية ( اى بجاوره )


.......................................................................
نأتى للشرح الميسر .. بما ان الأسس تعتبر طاقة هائلة للأعداد
اذا ً اللوغارتمات هى طاقة ايضا ً لكنها لا تعمل بكفائة مثل الأسس
لأن حركة سيرها بطيئية ولأن طاقتها عكسية .. اى انها تختزل
الطاقة لنفسها ( ممكن نعبر عنها بالعناصر الماصة للحرارة والطاردة
للحرارة فى الكمياء مثلا ً.. لكن فائدتها ان تقلص من حجم العمليات
الحسابية .. وتحول الضرب الى جمع والعكس صحيح والقسمة الى
طرح والعكس صحيح ايضا ً ... فى هذا المتتابعة الهندسية اللوغارتمية


10^∞ ...... 10^3   10^2   10^1   10^0   10^-1   10^-2   10^-2 ......10^-∞


هذه متتابعة لا منتهية من الطرفين للأساس 10 ..


لذلك نقول لوغاريتم 1 للأساس عشرة ؟؟ الى كم اس مرفوع ؟؟ 0
لذلك نقول لوغاريتم 1 للأساس 10 = 0 وتكتب هكذا


لو 1  = 0   ، وايضا ً لو 10  = 1 ، لو ²10 = 2 = لو 100
10                      10            10              10


ايضا ً لو 10^-1  = -1  ، لو 10^-2  = -2
       10                   10


ملحوظة الاساس 10 هو الاساس الطبيعى لذلك لا نكتبه تماما ً كالأس 1


قاعدة : لوس = 1 ، لو 1 = صفر حيث س لا تساوى صفر او 1
         س           س


لوس^ن  = ن لوس = ن   ،، لوس^ن = ن لوس
س               س               أ                أ


لو0 لأى اساس ليس لها معنى ، وكذلك لا ينغى ان يكون الاساس
يساوى الصفر او الواحد وذلك لأنه اذا حولنها الى صيغتها الاسية
نجد انها اما 0 اس 0 وهذا لا يجوز او 0 / 0 وهذه كمية غير معينة
او نجدها عدد مقسوم على صفر ... كذلك ايضا ً لا ينبغى اصلا ً
ان يكون اساس متتابعة هندسية بـ 0 او بـ 1 فى الحالة الاولى لو
كان اساس متتابعة هندسيةبــ 0 اذا ً حدودها كلها اصفار وهذا مستحيل
والأخرى اذا كان الاساس بـ 1 اذا جميع الحدود بـ 1 لأن واحد اس اى شىء
بــ 1 ... لذلك نستثنى ان يكون اساس اللوغاريتم بـ 0 او بــ 1


اما استثناء ان يكون دليل اللوغاريتم بـ 0 لأن هذا الصفر اذا وجد فى المتتابعة
الهندسية هذا يدل انها ايضا ً اصفار او انها ليست متتابعة هندسية اصلا ....!!!


ايضا ً لا ينبغى ان يكون ما بجانب اللوغاريتم سالب .. لأن هذا يعكس مفهوم المتتابعة
وغير ذلك اذا اعتبرنا ان ما بجوار الأس سالب سيكون مايلى .. نفرض : -


ان : لو -1   = س  ومنها  10^س = -1 ومعنى المسألة الرقم عشرة
     10
اذا روفع للقوى ( س ) يكون الناتج -1 واحد فهل هذا يجوز ؟؟ معروف ان الأس
سواء كان سالب او موجب يعطيك عدد موجب .. اليس كذلك ؟؟ اذا ً من اين جاء
السالب ؟؟ ... لذلك لا يجوز ان يكون دليل اللوغاريتم سالب .. هذا ما اعلم ، والله
تعالى اعلى واعلم .